Velocidade

Velocidade vetorial é a velocidade escalar em combinação com a direção do movimento de um objeto. A velocidade vetorial é um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento dos corpos.

A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial física: tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la. O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de velocidade escalar, sendo uma unidade derivada coerente cuja grandeza é medida no SI (sistema métrico) como metros por segundo (m/s ou m⋅s⁻¹). Por exemplo, “5 metros por segundo” é um escalar, enquanto “5 metros por segundo leste” é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, direção ou ambas, diz-se que o objeto está sofrendo uma aceleração.

Definição

Velocidade média

A velocidade média de um objeto durante um período de tempo é sua mudança de posição, $\mathrm{\Delta }s$, dividida pela duração do período, $\mathrm{\Delta }t$, dada matematicamente como $$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$$

Velocidade instantânea

Exemplo de gráfico de velocidade versus tempo e a relação entre velocidade v no eixo y, aceleração a (as três linhas de tangentes verdes representam os valores de aceleração em diferentes pontos ao longo da curva), e deslocamento s (a área amarela sob a curva.)

A velocidade instantânea de um objeto é a velocidade média limite conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer momento Predefinição:Mvar específico, pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo: $$𝒗=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }𝒔}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{d𝒔}{dt}.$$

A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob uma velocidade versus tempo (gráfico de Predefinição:Mvar versus Predefinição:Mvar) é o deslocamento, Predefinição:Mvar. Em termos de cálculo, a integral da função de velocidade Predefinição:Math é a função de deslocamento Predefinição:Math. Na figura, isto corresponde à área amarela sob a curva. Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt}

Embora o conceito de velocidade instantânea possa à primeira vista parecer contra-intuitivo, pode ser pensado como a velocidade com que o objeto continuaria a viajar se parasse de acelerar naquele momento.

Diferença entre as velocidades escalar e vetorial

Grandezas cinemáticas de uma partícula clássica: massa m, posição r, velocidade vetorial v, aceleração a.

Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados coloquialmente de forma intercambiável para denotar a rapidez com que um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor de velocidade, denota apenas a rapidez com que um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica a velocidade escalar e a direção de um objeto.

Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta, portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.

Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não tem velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.

Unidades

Como a derivada da posição em relação ao tempo dá a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade é medida em metros por segundo (m/s).

Equação de movimento

Velocidade média

A velocidade é definida como a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, que também pode ser referida como velocidade instantânea para enfatizar a distinção da velocidade média. Em algumas aplicações, a velocidade média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade variável no mesmo intervalo de tempo, Predefinição:Math, ao longo de algum período de tempo Predefinição:Math. A velocidade média pode ser calculada como:

Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.}

A velocidade média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância está sempre aumentando estritamente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.

Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo (Predefinição:Math versus. Predefinição:Math), a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) pode ser considerada como a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade média como a inclinação da reta secante entre dois pontos com coordenadas Predefinição:Math iguais aos limites do período de tempo para a velocidade média.

Casos especiais

• Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v₁, v₂, v₃, ..., v_n em diferentes intervalos de tempo t₁, t₂, t₃, ..., t_n respectivamente, então a velocidade escalar média sobre o tempo total da jornada é dada como $$\overline{v}=\frac{v_1{t}_1+v_2{t}_2+v_3{t}_3+\dots +v_n{t}_n}{t_1+t_2+t_3+\dots +t_n}$$

Se Predefinição:Math, então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares $$\overline{v}=\frac{v_1+v_2+v_3+\dots +v_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{v}_i$$

• Quando uma partícula se move em diferentes distâncias s₁, s₂, s₃,..., s_n com velocidades escalares v₁, v₂, v₃,..., v_n respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada como

$$\overline{v}=\frac{s_1+s_2+s_3+\dots +s_n}{t_1+t_2+t_3+\dots +t_n}=\frac{s_1+s_2+s_3+\dots +s_n}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}+\dots +\frac{s_n}{v_n}}$$

Se Predefinição:Math, então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares $$\overline{v}=n{(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}+\dots +\frac{1}{v_n})}^{-1}=n{\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{v_i}\right)}^{-1}$$

Relação com a aceleração

Embora a velocidade seja definida como a taxa de mudança de posição, é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a inclinação da linha tangente à curva de um gráfico Predefinição:Math naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo: Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}

A partir daí, a velocidade é expressa como a área sob um gráfico de aceleração versus tempo Predefinição:Math. Como acima, isso é feito usando o conceito da integral: $$𝒗=\int 𝒂dt$$

Aceleração constante

No caso especial de aceleração constante, a velocidade pode ser estudada usando as equações de suvat. Ao considerar a como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra $$𝒗=𝒖+𝒂t$$ com Predefinição:Math como a velocidade no tempo Predefinição:Math e Predefinição:Math como a velocidade no tempo Predefinição:Math. Ao combinar esta equação com a equação de suvat Predefinição:Math, é possível relacionar o deslocamento e a velocidade média por $$𝒙=\frac{(𝒖+𝒗)}{2}t=\overline{𝒗}t$$ Também é possível derivar uma expressão para a velocidade independente do tempo, conhecida como equação de Torricelli, da seguinte forma: $$v^2=𝒗\cdot 𝒗=(𝒖+𝒂t)\cdot (𝒖+𝒂t)=u^2+2t(𝒂\cdot 𝒖)+a^2{t}^2$$ $$(2𝒂)\cdot 𝒙=(2𝒂)\cdot (𝒖t+\frac{1}{2}𝒂t^2)=2t(𝒂\cdot 𝒖)+a^2{t}^2=v^2-u^2$$ $$\therefore v^2=u^2+2(𝒂\cdot 𝒙)$$ onde Predefinição:Math etc.

As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de Predefinição:Math e as regras de transformação para posição criam uma situação na qual todos os observadores não aceleradores descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade relativa pode ser calculada.

Grandezas físicas que dependem da velocidade

Momento

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define momento (momentum), p, como um vetor que é o produto da massa e velocidade de um objeto, dado matematicamente como Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}} onde m é a massa do objeto.

Energia cinética

A energia cinética de um objeto em movimento depende de sua velocidade e é dada pela equaçãoFalhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}} onde E_k é a energia cinética. A energia cinética é uma grandeza escalar, pois depende do quadrado da velocidade.

Arrasto (resistência de fluido)

Na dinâmica de fluidos, o arrasto é uma força que atua em oposição ao movimento relativo de qualquer objeto que se move em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, $F_D$, depende do quadrado da velocidade e é dada como Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A} onde

• $\rho$ é a densidade do fluido;
• $v$ é a velocidade do objeto em relação ao fluido;
• $A$ é a área da seção transversal;
• $C_D$ é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.

Velocidade de escape

A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo massivo como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando adicionada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é$$v_{\text{e}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2gr},$$onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e é independente da direção do objeto. Isso torna "velocidade de escape" um tanto impróprio, pois o termo mais correto seria "velocidade escalar de escape": qualquer objeto que atinja uma velocidade dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará a vizinhança do corpo base, desde que não intersecte com algo em seu caminho.

O fator de Lorentz da relatividade especial

Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece frequentemente e é dado porFalhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.

Velocidade relativa

A velocidade relativa é uma medida da velocidade entre dois objetos determinada em um único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, uma vez que muitos sistemas da física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.

Considere um objeto A movendo-se com vetor de velocidade v e um objeto B com vetor de velocidade w; essas velocidades absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade do objeto A em relação ao objeto B é definida como a diferença dos dois vetores de velocidade: $${𝒗}_{A\text{ em relação a }B}=𝒗-𝒘$$ Da mesma forma, a velocidade relativa do objeto B movendo-se com velocidade w, em relação ao objeto A movendo-se com velocidade v é: $${𝒗}_{B\text{ em relação a }A}=𝒘-𝒗$$ Normalmente, o referencial inercial escolhido é aquele em que o último dos dois objetos mencionados está em repouso.

Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é independente do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso da relatividade especial, na qual as velocidades dependem da escolha do referencial.

Velocidades escalares

No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: $$v_{\text{rel}}=v-(-w),$$ se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: $$v_{\text{rel}}=v-(+w),$$ se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.

Sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde há um eixo x e um eixo y, os componentes de velocidade correspondentes são definidos como: $$v_x=dx/dt$$ $$v_y=dy/dt$$ O vetor de velocidade bidimensional é então definido como $\mathbf{\text{v}}=<v_x,v_y>$. A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula de distância como: $$|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$ Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, o componente de velocidade correspondente é definido como: $$v_z=dz/dt$$ O vetor de velocidade tridimensional é definido como $\mathbf{\text{v}}=<v_x,v_y,v_z>$ com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por: $$|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$ Enquanto alguns livros didáticos usam a notação subscrita para definir componentes cartesianos de velocidade, outros usam $u$, $v$, e $w$ para os eixos $x$, $y$, e $z$, respectivamente.

Coordenadas polares

Representação dos componentes radial e tangencial da velocidade em diferentes momentos do movimento linear com velocidade constante do objeto ao redor de um observador O (corresponde, por exemplo, à passagem de um carro em uma rua reta ao redor de um pedestre parado na calçada). O componente radial pode ser observado devido ao efeito Doppler, o componente tangencial causa mudanças visíveis da posição do objeto.

Em coordenadas polares, uma velocidade bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como o componente da velocidade para longe ou em direção à origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial. Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com grandezas positivas representando a rotação no sentido anti-horário e grandezas negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destro).

As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores de velocidade e deslocamento cartesianos decompondo o vetor de velocidade em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é o componente da velocidade ao longo de um círculo centrado na origem. $$𝒗={𝒗}_T+{𝒗}_R$$ onde:

• ${𝒗}_T$ é a velocidade transversal;
• ${𝒗}_R$ é a velocidade radial.

A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor de velocidade e o vetor unitário na direção radial. $$v_R=\frac{𝒗\cdot 𝒓}{\left|𝒓\right|}=𝒗\cdot \widehat{𝒓}$$ onde $𝒓$ é a posição e $\widehat{𝒓}$ é a direção radial.

A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto cruzado do vetor unitário na direção radial e o vetor de velocidade. É também o produto escalar da velocidade e a direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular $\omega$ e o raio (a magnitude da posição). $$v_T=\frac{|𝒓\times 𝒗|}{|𝒓|}=𝒗\cdot \widehat{𝒕}=\omega |𝒓|$$ tal que: $$\omega =\frac{|𝒓\times 𝒗|}{|𝒓{|}^2}$$ Momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade transversal, ou equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para momento angular é a mesma que para velocidade angular. $$L=mr{v}_T=m{r}^2\omega$$ onde:

• $m$ é a massa;
• $r=|𝒓|$

A expressão $m{r}^2$ é conhecida como momento de inércia. Se as forças estão na direção radial apenas com uma dependência inversa do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, e a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado, e a taxa na qual a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como leis de Kepler do movimento planetário.

Notas

• Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (em inglês) (16 de junho de 2004). Predefinição:Isbn.