Distância euclidiana

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A distância euclidiana em duas dimensões.

Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

Definição

A distância euclidiana entre os pontos P=(p1,p2,…,pn) e Q=(q1,q2,…,qn), num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

(p1−q1)2+(p2−q2)2+⋯+(pn−qn)2=∑i=1n(pi−qi)2.

Distância unidimensional

Para pontos unidimensionais, P=(px) e Q=(qx), a distância é computada como:

(px−qx)2=|px−qx|.

O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.

Distância bidimensional

Para pontos bidimensionais, P=(px,py) e Q=(qx,qy), a distância é computada como:

(px−qx)2+(py−qy)2.

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando P=(r1,θ1) e Q=(r2,θ2), a distância é computada como:

r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2).

Tenha em mente que a distância euclidiana no plano cartesiano, portanto bidimensional, equivale à hipotenusa (c) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), então, a distância euclidiana entre elas é 100,1249 (400−300)2+(60−50)2=10025=100,1249.

Distância tridimensional

Para pontos tridimensionais, P=(px,py,pz) e Q=(qx,qy,qz), a distância é computada como:

(px−qx)2+(py−qy)2+(pz−qz)2.

Distância n-dimensional

Para pontos n-dimensionais, P=(p1,p2,...,pn) e Q=(q1,q2,...,qn), a distância é computada como:

(p1−q1)2+(p2−q2)2+...+(pn−qn)2.

Ver também

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