Divisão polinomial

Em álgebra, a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da técnica aritmética de divisão . Considerando os polinômios $f(x)$ e $g(x)$, em que o grau de $f(x)$ é maior ou igual ao grau do polinômio não nulo $g(x)$, existe um único par de polinômios $q(x)$ e $r(x)$ tal que

$\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$ , ou seja, $f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)$,

sendo que, ou o grau de $r(x)$ é menor do que o de $g(x)$, ou $r(x)$ é nulo. Dividir o dividendo $f(x)$ pelo divisor não nulo $g(x)$, significa obter os polinômios $q(x)$ e $r(x)$. O grau do quociente $q(x)$ é igual ao grau do dividendo $f(x)$ menos o grau do divisor $g(x)$. Se o resto $r(x)$ for zero, o polinômio $f(x)$ tem o polinômio $g(x)$ como fator e diz-se que $f(x)$ é divisível por $g(x)$.

Como $q(x)$ e $r(x)$ são unicamente definidos, não dependem do método utilizado para determiná-los.

Método da chave

O método da chave consiste em um algoritmo baseado na clássica divisão de Euclides para números inteiros (também conhecida como método da chave), com as devidas adequações:

$\begin{array}{cc}f(x)& \underset{\_}{|g(x)}\\ & q(x)\\ r(x)& \end{array}$.

Exemplo

Encontre o quociente e o resto da divisão de $x^3-2x^2-4$ (dividendo) pelo divisor $x-3$.

No dividendo, todos os termos com expoentes inferiores ao maior devem ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sejam zero:

$x^3-2x^2+0x-4.$

O quociente e o resto podem ser determinados como segue:

1. Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grau do divisor (aquele com a maior potência de $x$) e insere-se o resultado ($x^3÷x=x^2$) abaixo do divisor:

$\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+0x-4& \underset{\_}{|x-3}\\ & x^2\end{array}.$

2. Multiplica-se o divisor pelo resultado obtido (o primeiro termo de eventual quociente) e escreve-se o resultado ($x^2(x-3)=x^3-3x^2$) sob o dividendo:

$\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+0x-4& \underset{\_}{|x-3}\\ x^3-3x^2& x^2\end{array}$

3. Subtrai-se o produto recém obtido do dividendo e escreve-se o resultado ($x^3-2x^2-4-(x^3-3x^2)=x^2-4$) embaixo:

$\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+0x-4& \underset{\_}{|x-3}\\ \underset{\_}{x^3-3x^{2}00000000}& x^2\\ 00000x^2+0x-4& \end{array}$

4. Repete-se as três etapas anteriores, com a observação que desta vez o polinômio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

$\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+0x-4& \underset{\_}{|x-3}\\ \underset{\_}{x^3-3x^{2}00000000}& x^2+x\\ 00000x^2+0x-4& \\ 00000\underset{\_}{x^2-3x0000}& \\ 00000000-3x-4& \end{array}$

5. Repete-se a etapa 4 até que o polinômio resultado da subtração fique com grau menor do que o grau do divisor. Tal polinômio é o resto da divisão, sendo neste exemplo obtido no passo seguinte:

$\begin{array}{cc}{x}^3-2x^2+0x-4& \underset{\_}{|x-3}\\ \underset{\_}{x^3-3x^{2}00000000}& x^2+x+3\\ 00000x^2+0x-4& \\ 00000\underset{\_}{x^2-3x0000}& \\ 00000000-3x-4& \\ 00000000-\underset{\_}{3x-9}& \\ 000000000000005& \end{array}$

Finalizado o processo, pode-se escrever:

$x^3-2x^2-4=(x-3)\underset{q(x)}{\underbrace{(x^2+x+3)}}+\underset{r(x)}{\underbrace{5}}$.

Método dos coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar, também chamado de método de Descartes, consiste em encontrar os coeficientes dos polinômios $q(x)$ e $r(x)$ pela relação

$f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x),$

de acordo com o grau que tais polinômios podem apresentar. Usam-se os fatos de que o grau do quociente $q(x)$ é igual à subtração dos graus de $f(x)$ e $g(x)$ e de que o grau do resto $r(x)$ é menor do que o grau de $g(x)$ (ou igual no caso em que $g(x)$ tem grau $0$.

Exemplo

Encontre o quociente e o resto da divisão de $f(x)=x^2+x+2$ (dividendo) pelo divisor $g(x)=x-1$.

Nota-se, inicialmente, que os graus de $f(x)$ e $g(x)$ são, respectivamente, $2$ e $1$, de modo que o grau de $q(x)$ é $1$, ou seja, $q(x)=ax+b$, com $a\ne 0$. Ainda, como o grau do resto é menor do que o grau de $g(x)$, $r(x)$ tem grau zero, ou seja, $r(x)=c$. Substituindo em

$f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x),$

obtém-se:

$x^2+x+2=(ax+b)\cdot (x-1)+c\Rightarrow x^2+x+2=(a{x}^2-ax+bx-b)+c\Rightarrow x^2+x+2=(a)x^2+(-a+b)x+(-b+c)$

o que conduz ao seguinte sistema linear

$\{\begin{array}{c}a=1\\ -a+b=1\\ -b+c=2\end{array}$,

o qual fornece $a=1$, $b=2$ e $c=4$. Assim, $q(x)=x+2$ e $r(x)=4$. Ou seja, $x^2+x+2=(x+2)\cdot (x-1)+4$.

Divisões por polinômios do tipo $x-a$

Ao dividir um polinômio qualquer por um de grau 1 do tipo $x-a$, pode ser utilizado o Teorema do resto, o Teorema de D’Alembert e o Teorema do fator.

O Teorema do resto garante o resto de uma divisão de um polinômio $f(x)$ qualquer por um polinômio do tipo $x-a$, com $a\in ℂ$, é igual a $f(a)$, ou seja, $r(x)=f(a)$. Já o Teorema de D’Alembert afirma que para que um polinômio $f(x)$ seja divisível por $x-a$ é necessário e suficiente que $a$ seja raiz de $f(x)$, ou seja, que $f(a)=0$.

O Teorema do fator diz que se $k$ é uma raiz de $f(x)$, com grau maior que zero, então o polinômio $x-k$ é um fator de $f(x)$. Assim, $f(x)$ é divisível por $(x-x_1)$ e por $(x-x_2)$, com $x_1\ne x_2$, se, e somente se, $f(x)$ for divisível por $(x-x_1)(x-x_2)$.

Com o disposto acima, para realizar a divisão de um polinômio $f(x)$ por um polinômio do tipo $x-a$ podemos utilizar o dispositivo ou algoritmo de Briot-Ruffini.

Exemplo de código fonte

Neste exemplo, criamos dois objetos da classe PolynomialFunction, um representando o polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 4x + 3 e outro representando o polinômio Q(x) = x^2 + x - 2. Em seguida, utilizamos o método polynomialDivision da classe PolynomialFunction para realizar a divisão polinomial de P(x) por Q(x). O método retorna um array com dois objetos PolynomialFunction, o primeiro representando o quociente da divisão e o segundo representando o resto.

import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionNewtonForm;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionLagrangeForm;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionNewtonForm.NevilleInterpolator;

public class PolynomialDivisionExample {
  
  public static void main(String[] args) {
    // Criando o polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 4x + 3
    PolynomialFunction p = new PolynomialFunction(new double[] {3, 4, -5, 2, 1});
    
    // Criando o polinômio Q(x) = x^2 + x - 2
    PolynomialFunction q = new PolynomialFunction(new double[] {-2, 1, 1});
    
    // Realizando a divisão polinomial P(x) / Q(x)
    PolynomialFunction[] result = p.polynomialDivision(q);
    PolynomialFunction quotient = result[0]; // Quociente
    PolynomialFunction remainder = result[1]; // Resto
    
    // Exibindo o resultado da divisão polinomial
    System.out.println("Quociente: " + quotient);
    System.out.println("Resto: " + remainder);
  }
}

Ver também

• Algoritmo de Briot-Ruffini
• Teorema fundamental da álgebra
• Teorema do resto