Coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea

a y^{″} + b y^{'} + c y = d (x)

Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular $y_{p} = y_{p} (x)$ que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.^[1]

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

Polinômio de grau n na variável independente

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

Múltiplo de uma função exponencial

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p} (x) = k e^{r x}

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Solução procurada na forma:

y_{p} (x) = A \cos (k x) + B \sin (k x)

Soma das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

= y_{p} (x) = y_{1} (x) + y_{2} (x)

onde $y_{1} = y_{1} (x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2} = y_{2} (x)$ é a solução obtida na segunda forma.

Produto das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

= y_{p} (x) = y_{1} (x) y_{2} (x)

onde $y_{1} = y_{1} (x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2} = y_{2} (x)$ é a solução obtida na segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.^[2]

Exemplos

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).^[3]

L(y)=d(x)	Forma da solução procurada
$L (y) = 3 x^{2}$	$y (x) = a x^{2} + b x + c$
$L (y) = 7 e^{3 x}$	$a e^{3 x}$
$L (y) = 17 \cos (3 x)$	$y (x) = a \cos (3 x) + b \sin (3 x)$
$L (y) = 7 \sin (2 x)$	$y (x) = a \cos (2 x) + b \sin (2 x)$
$L (y) = 7 \sin (2 x) + 8 \cos (2 x)$	$y (x) = a \cos (2 x) + b \sin (2 x)$
$L (y) = 3 e^{5 x} + (x^{2} + 7 x + 3)$	$y (x) = d e^{5 x} + [a x^{2} + b x + c]$
$L (y) = y (x) = 3 e^{5 x} (x^{2} + 7 x + 3)$	$y (x) = e^{5 x} [a x^{2} + b x + c]$
$L (y) = 3 e^{5 x} \sin (2 x)$	$y (x) = e^{5 x} [a \cos (2 x) + b \sin (2 x)$

Predefinição:Referências

Ver também

[1] Predefinição:Citar web

[2] Predefinição:Citar web

[3] Predefinição:Citar web

[1]

[2]

[3]

Coeficientes a determinar

Índice

Polinômio de grau n na variável independente

Múltiplo de uma função exponencial

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Soma das formas anteriores

Produto das formas anteriores

Exemplos

Ver também

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Coeficientes a determinar

Polinômio de grau n na variável independente

Múltiplo de uma função exponencial

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Soma das formas anteriores

Produto das formas anteriores

Exemplos

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