Equações separáveis

Definição

Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma.:

$\frac{dy}{dx}=\frac{h(x)}{g(y)}$ ou $\frac{dy}{dx}=\frac{u(y)}{v(x)}$

Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.

Observação

Quando a variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando h(x) ou v(x) é uma função constante, a equação diferencial é chamada autônoma.

Método

Seja a EDO de 1ª ordem $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$ (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$ ⇒ $dy=f^{\prime }(x)dx$

que pode ser integrada diretamente como:

$y=\int f^{\prime }(x)dx+C$

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1)..

Exemplo

Propagação de Praga

Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t, $x(t)$, varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.

Solução

$\frac{dx(t)}{dt}=Kx(t)[P-x(t)]$, como esta equação é do tipo separável, temos:

$\frac{dx}{x[P-x]}=Kdt$.

Integrando em ambos os lados, segue que:

$\int \frac{dx}{x[P-x]}=\int Kdt$.

Resolvendo por frações parciais, obtemos:

$\frac{1}{x[P-x]}=\frac{A}{x}+\frac{B}{[P-x]}$.

Segue um sistema onde:

$1=AP+(B-A)x$, com isso $A=\frac{1}{P}$ , $A=B$.

Logo temos a seguinte integral:

$\int \frac{1}{P}(\frac{1}{x}+\frac{1}{P-x})dx$.

Resolvendo a integral, temos:

$\ln x-\ln (P-x)=KPt+\ln C$, onde C é uma constante.

$\ln \frac{x}{P-x}=KPt+\ln C$, assim:

$\frac{x}{P-x}=C{e}^{KPt}$ ;

$(1+C{e}^{KPt})x=PC{e}^{KPt}$ ;

$x(t)=\frac{PC{e}^{KPt}}{(1+C{e}^{KPt})}$ .

Com isso, a solução desta equação é expressa por:

$x(t)=\frac{P}{(1+\frac{1}{C}{e}^{-KPt})}$ .

Predefinição:Referências

Ver também

• Método do fator integrante
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)