Redução de ordem

O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.

Suponha que seja conhecida uma solução $y_1(t)$, não identicamente nula, de

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=0$. (1)

Para encontrar uma segunda solução, seja

$y=v(t)y_1(t)$ (2)

então,

$y^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t)y{\text{'}}_1(t)$

e

$y^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t)y{\text{'}}_1(t)+v(t)y^{\prime }{\text{'}}_1(t)$

Substituindo essas expressões para $y,y^{\prime }$ e $y^{″}$ na equação (1) e unindo os termos, encontramos:

$y_1{v}^{″}+(2y{\text{'}}_1+p{y}_1)v^{\prime }+(y^{\prime }{\text{'}}_1+py{\text{'}}_1+q{y}_1)v=0$.

A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função $v^{\prime }$ e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada $v^{\prime }$, $v$ é obtida por integração.

Finalmente, a solução $y$ é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para $v^{\prime }$ em vez da equação de segunda ordem original para $y$.

2× + y= 6

Dado que $y_1(t)=t^{-1}$ é uma solução de

$2t^2{y}^{″}+3t{y}^{\prime }-y=0$ (3)

$t>0$,

encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Vamos fazer $y=v(t)t^{-1}$, então:

$y^{\prime }=v^{\prime }{t}^{-1}-v{t}^{-2}$,

$y^{″}=v^{″}{t}^{-1}-2v^{\prime }{t}^{-2}+2v{t}^{-3}$.

Substituindo $y,y^{\prime }$ e $y^{″}$ na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

$2t^2(v^{″}{t}^{-1}-2v^{\prime }{t}^{-2}+2v{t}^{-3})+3t(v^{\prime }{t}^{-1}-v{t}^{-2})-v{t}^{-1}$

$=2t{v}^{″}+(-4+3)v^{\prime }+(4t^{-1}-3t^{-1}-t^{-1})v$

$=2t{v}^{″}-v^{\prime }$

$=0$ (4)

Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

$v^{\prime }(t)=c{t}^{1/2}$;

então,

$v(t)=\frac{2}{3}c{t}^{3/2}+k$.

Segue que

$y=\frac{2}{3}c{t}^{1/2}+k{t}^{-1}$,

onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de $y_1$ e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

$y_2=t^{1/2}$.

Predefinição:Referências

Ver também

• Método do fator integrante
• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)