Equação diferencial exata

Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.

Uma Equação diferencial ordinária é dita exata quando é possível colocá-la na seguinte forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

e

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

com $M$ e $N$ funções diferenciáveis e integráveis.

Teorema

O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.

Suponha que as funções $M,N,M_y$ e $N_x$, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa $R:\alpha <x<\beta ,\lambda <y<\sigma$.

Então, a equação

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

é uma equação diferencial exata em $R$ se, e só se,

$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ (1)

em cada ponto de R.

Isto é, existe uma função $F(x,y)$ que satisfaz as equações,

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y)$

se, e só se, $M$ e $N$ satisfazem (1), pois

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y\partial x}$

Método de Solução

Uma equação diferencial ordinária do tipo

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

é equivalente a

$M(x,y)+N(x,y)y^{\prime }=0$, pois $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$

Se ela for uma equação exata, teremos que $\frac{M}{\partial y}=\frac{N}{\partial x}$.

Então podemos supor que há uma função $F$ de modo que $\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)$.

Assim, para obter essa função basta integrar $M(x,y)$em relação a $x$.

$F=\int M(x,y)dx+g(y)$. Note-se que $g(y)$ é a constante de integração, e como não depende de $x$, $\frac{d}{dx}(g(y))=0$.

Agora podemos derivar $F$ na direção de $y$ supondo que $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)$. Assim, obtemos:

$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+g^{\prime }(y)=N(x,y)$.

Isolando $g^{\prime }(y)$ temos:

$g^{\prime }(y)=N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx$

Então, por fim, integramos $g^{\prime }(y)$ na direção de $y$, de modo a obter:

$g(y)=\int \left(N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx\right)dy$

Ou seja

$F=\int M(x,y)dx+g(y)=\int M(x,y)dx+\int \left(N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx\right)dy$

E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita $F(x,y)=c$

Exemplo

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária    $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{-(2x+y^2)}{(2x+1)y}$.

Temos:

$(2x+y^2)dx+(2xy+y)dy=0$,

onde

$M=(2x+y^2)$ e $N=(2xy+y)$.

Logo, $\frac{\partial M}{\partial y}=2y=\frac{\partial N}{\partial x}$, donde se conclui que é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

$\frac{\partial F}{\partial x}=M=2x+y^2$.

Integrando em relação a x:

$F(x,y)=x^2+x{y}^2+f(y)$, em que f(y) é uma função de y.

Além disso, $\frac{\partial F}{\partial y}=N=2xy+f^{\prime }(y)=2xy+y$. Então $f^{\prime }(y)=y$.

Integrando em relação a y, temos: $f(y)=\frac{y^2}{2}+c$, c constante.

Logo, pelo corolário, a função F é:

$F(x,y)=x^2+x{y}^2+\frac{y^2}{2}+c$

A solução da equação diferencial exata é $F(x,y)=0$ ou seja

$x^2+x{y}^2+\frac{y^2}{2}+c=0$

Exemplo no plano

Considere uma função diferenciável

$z=F(x,y);(x,y)\in \mathrm{\Omega }\subset {𝐑}^2$ da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata

$dz=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy$

A expressão que deu origem à equação, $z=F(x,y)$, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante $z=C$ equivale a resolver o sistema de equações:

$\begin{array}{c}z=C\\ z=F(x,y)\end{array}$

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano $XOY$ então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio $\mathrm{\Omega }$ de $z=F(x,y)$ que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo

$F(x,y)=C$

Diferenciando esta última equação, obtemos:

$\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0$

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

Esta equação é dita exata se existe uma função $w=F(x,y)$ tal que

$\begin{array}{c}P(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\\ Q(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}\end{array}$

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir $F$ a partir de suas derivadas parciais.Predefinição:Referências

• Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também

• Método do fator integrante
• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)