Equação diferencial linear

Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

$$a_n(x)\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x).$$

(0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

• Cada coeficiente $a_n$ e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
• A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

$${\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^3-2xy=1.$$

Introdução

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

$$L_n[D]y(x)=g(x)$$

Onde $L_n[D]$ é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

$$L_n[D]=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_1(x)D^1+a_0(x),sendo{D}^j=\frac{d^j}{d{x}^j}$$

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

• Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
• Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
• Coeficientes constantes se todos os $a_n$ forem funções constantes.

Equação diferencial linear de primeira ordem

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo $a_n(x)\ne 0,$ visto ser $n$ a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para $n=1,$ a equação (0.1) fica

$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x).$

(0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

Desenvolvimento

Dividindo ambos os membros por $a_1(x),$ obtém-se uma equação da forma

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).$

(0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que $P(x)$ e $Q(x)$ são contínuas num certo intervalo $I,$ onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante $e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}.$ Multiplicando ambos os membros da equação por $e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}$ obtém-se a seguinte equação equivalente:

$e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}P(x)y=e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x).$

(0.4)

Deve-se notar que, como $\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx$ gera uma expressão da forma $P_1(x)+C,$ pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

$e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}y=\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x)dx+C.$

(0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

$\frac{d}{dx}\left[y{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}\right]=e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x).$

(0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução $y$ de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função $y$ nas condições de (0.5), i.e., tal que

$y=e^{-\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x)dx+C{e}^{-\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx},$

(0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive $y,$ ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua $y$ e $y^{\prime }$ em (0.3)).

Exemplo

Considere a equação diferencial

$y^{\prime }+2y=e^{2x}.$

(0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

$P(x)=2$ e $Q(x)=e^{2x}.$

$\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}2dx=2x+C.$

A solução geral da equação é dada por

$e^{2x}y=\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{2x}{e}^{2x}dx+C,$

donde se obtém

$e^{2x}y=\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{4x}dx+C,$

i.e.,

$e^{2x}y=\frac{e^{4x}}{4}+C.$

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

$y=\frac{e^{2x}}{4}+C{e}^{-2x}.$

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus $a_n$ são funções constantes. Por exemplo:

$$y^{″}(x)+2*y^{\prime }(x)+5=0$$$$4*y^{\prime }(x)+y(x)=0$$

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

Exemplo

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

$$y^{″}(t)+3*y^{\prime }(t)+2*y(t)=0$$

$$y(0)=0y^{\prime }(0)=1$$Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:

$$L\{y^{″}(t)\}+3L\{y^{\prime }(t)\}+2L\{y(t)\}=0$$

$$s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0$$

$$s^{2}Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=0$$

$$Y(s)=\frac{1}{(s+2)(s+1)}$$

Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:

$$y(t)=e^{-2t}+e^{-t}$$

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

$$10x{y}^{″}(x)+5x{y}^{\prime }(x)+y(x)=0$$$$y^{\prime }(x)+xy(x)=0$$

Exemplo:

$$t{y}^{″}(t)+y^{\prime }(t)+9ty(t)=0$$

$$y(0)=5y^{\prime }(0)=0$$Aplica-se a Transformada de Laplace:

$$-\frac{d}{ds}(s^{2}Y(s)-5s)+sY(s)-5-9\frac{d}{ds}Y(s)=0$$

$$-s^2{Y}^{\prime }(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y^{\prime }(s)=0$$

$$\frac{Y^{\prime }(s)}{Y(s)}=-\frac{s}{s^2+9}$$Sendo K uma constante de integração:$$ln(Y(s))=-\frac{1}{2}ln(s^2+9)+K$$

$$Y(s)=\frac{K}{\sqrt{s^2+9}}$$Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

$$y(t)=K{J}_0(3t)$$$$y(t)=5J_0(3t)$$

Onde $J_0$ é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes

Equação diferencial com funções constantes nos termos $a_n$ e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

Exemplo

Dada a seguinte equação diferencial, onde $\delta (t-\pi )$ é a função Delta de Dirac aplicada em $\pi$, aplica-se a Transformada de Laplace.

$$y^{″}(t)+y(t)=\delta (t-\pi )$$

$$y(0)=0y^{\prime }(0)=1$$

$$L\{y^{″}(t)\}+L\{y(t)\}=L\{\delta (t-\pi )\}$$

$$s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)+Y(s)=e^{-\pi s}$$

$$Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}+\frac{1}{s^2+1}$$Aplicando-se a Transformada Inversa:

$$y(t)=u(t-\pi )*sen(t-\pi )+sen(t)$$

Onde $u(t-\pi )$ é a Função de Heaviside aplicada em $\pi$.

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira:

$$x{\text{'}}_1=p_{11}(t)x_1+p_{12}(t)x_2+\cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_n+g_1(t)$$

$$x{\text{'}}_2=p_{21}(t)x_1+p_{22}(t)x_2+\cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_n+g_2(t)$$

$$\cdot \cdot \cdot$$$$x{\text{'}}_n=p_{n1}(t)x_1+p_{n2}(t)x_2+\cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_n+g_n(t)$$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação de Bernoulli
• Transformada de Laplace

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