Fator integrante

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

$y^{\prime }+a(x)y=b(x)$

onde $y=y(x)$ é a incógnita e depende da variável $x$, e $a(x)$ e $b(x)$ são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por $\mu (x)$, obtém-se:

$\mu (x)y^{\prime }+\mu (x)a(x)y=\mu (x)b(x)$

Supomos que $\mu (x)$ possa ser escrita na seguinte forma:

$(\mu (x)y{)}^{\prime }=\mu (x)b(x)$

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

$y(x)\mu (x)=\int b(x)\mu (x)dx+C$

onde $C$ é constante. Resolvendo para $y(x),$, temos:

$y(x)=\frac{\int b(x)\mu (x)dx+C}{\mu (x)}$

Para encontrar a função $\mu (x)$, basta observar que, pela regra do produto:

$(\mu (x)y{)}^{\prime }={\mu }^{\prime }(x)y+\mu (x)y^{\prime }=\mu (x)b(x)$

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

${\mu }^{\prime }(x)=a(x)\mu (x).(4)$

O que implica:

$\mu (x)=e^{\int a(x)dx},$ que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Exemplo

Considere a seguinte equação diferencial:

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0.$

Multiplicando a equação pelo fator integrante $M(x)=x^{-2}$, temos:

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

ou, reagrupando os termos:

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

o que é equivalente a:

$\frac{y}{x^2}=C$

ou, resolvendo para y:

$y=C{x}^2$

 Transformação de uma EDO em Equação Exata

Predefinição:Artigo principalConsidere uma equação diferencial da forma

$M(x,y)+N(x,y)y^{\prime }=0$

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante $\mu (x,y)$ e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

$\mu (x,y)M(x,y)+\mu (x,y)N(x,y)y^{\prime }=0$

Para que essa equação seja exata, precisamos que

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

Ou seja, como $M$ e $N$ são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função $\mu$ que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

$\mu \frac{\partial M}{\partial y}+M\frac{\partial \mu }{\partial y}=\mu \frac{\partial N}{\partial x}+N\frac{\partial \mu }{\partial x}⟺\mu \frac{\partial M}{\partial y}+M\frac{\partial \mu }{\partial y}-\mu \frac{\partial N}{\partial x}-N\frac{\partial \mu }{\partial x}=0$

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

$M\frac{\partial \mu }{\partial y}-N\frac{\partial \mu }{\partial x}+\mu (\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})=0(I)$

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma $\mu (x)$ ou $\mu (y)$, sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos $\frac{\partial M}{\partial y}=M_y$ e $\frac{\partial N}{\partial x}=N_x$.

Assim, tomando $\mu$ como uma função exclusivamente de $x$, teremos:

$\mu \text{ é uma função de x}\Rightarrow \frac{\partial \mu }{\partial y}=0{\Rightarrow }^{}N\frac{d\mu }{dx}=\mu (M_y-N_x)\Rightarrow \frac{d\mu }{dx}=\mu \frac{M_y-N_x}{N}$

Ou seja, para obter uma a função $\mu (x)$ precisamos resolver a equação diferencial

$\frac{d\mu }{dx}=\frac{M_y-N_x}{N}\mu$

Observe que dessa expressão obtemos que, para que $\mu$ seja uma função de $x$ é necessário que $\frac{M_y-N_x}{M}$ seja também uma função de $x$.

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

$\mu =e^{\int \frac{M_y-N_x}{M}dx}$.

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de $y$.

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

Ver também

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli