Regra do produto

Predefinição:Cálculo Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática	Em português
$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$	A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa, $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]$

ou, segundo a notação de Leibniz:

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.$

A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz:

$\frac{d}{dx}(u\cdot v\cdot w)=\frac{du}{dx}\cdot v\cdot w+\frac{dv}{dx}\cdot u\cdot w+\frac{dw}{dx}\cdot u\cdot v$

Demonstração simplificada, e ilustrada geometricamente

Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto.

Sejam $f$ e $g$ duas funções diferenciáveis de $x$. Definindo $u=f(x)$  e  $v=g(x)$, a área $uv$ do retângulo (ver Figura 1) é representada por $f(x)g(x)$.

se $x$ varia por $\mathrm{\Delta }x$, as variações correspondentes em $u$ e $v$ são designadas por $\mathrm{\Delta }u$ e $\mathrm{\Delta }v$.

A variação da área do retângulo é então:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }(uv)& =(u+\mathrm{\Delta }u)(v+\mathrm{\Delta }v)-uv\\ & =(\mathrm{\Delta }u)v+u(\mathrm{\Delta }v)+(\mathrm{\Delta }u)(\mathrm{\Delta }v),\end{array}$

isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.

Dividindo por $\mathrm{\Delta }x$ :

$\frac{\mathrm{\Delta }(uv)}{\mathrm{\Delta }x}=\left(\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\right)v+u\left(\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}\right)+\left(\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\right)\left(\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}\right)\mathrm{\Delta }x.$

E tomando o limite $\mathrm{\Delta }x\to 0$, obtém-se:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)=\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)v+u\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right).$

Exemplo

Seja uma função $h(x)=x{e}^x$. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e $g(x)=e^x$. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=g(x)\cdot \frac{d}{dx}[f(x)]+f(x)\cdot \frac{d}{dx}[g(x)]=$

Substituindo f(x) por x, g(x) por e $e^x$, a derivada de g(x) por $e^x$ (pois a derivada de $e^x$ é $e^x$) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

$=\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=e^x\cdot 1+x\cdot e^x=(x+1)e^x$

Ver também

• Derivada
• Função composta
• Integral
• Cálculo