Equação diferencial linear de segunda ordem

Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que pertencem ao grupo das equações diferenciais lineares e satisfazem as duas características exigidas para tal. Para que sejam consideradas de segunda ordem estas equações devem obedecer ao seguinte formato:

$a(x)y^{″}+b(x)y^{\prime }+c(x)y=r(x),$

onde, a, b, c e r são funções conhecidas, dependentes apenas da variável x.

Exemplos:

• $(x^2-3x)y^{″}+x{y}^{\prime }-(x+3)y=0$

• $2x^2{y}^{″}+3x{y}^{\prime }-y=7$

• $y^{″}-7y^{\prime }+12y=\cos (x)$

Existência e unicidade da solução

Teorema

Se as funções $p(x)$, $q(x)$ e $f(x)$ são contínuas em um intervalo $(a,b)$, existe uma única solução da equação linear

$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$

no intervalo (a, b), que verifica as condições iniciais $y(c)=A$ e $y^{\prime }(c)=B$ para quaisquer números reais A, B e c, tal que $c\in (a,b)$.

Justificativa da linearidade

Considerando $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, e a transformação que a cada função duas vezes derivável $y=y(x)$ associa $L(y)=y^{″}+f(x)y^{\prime }+g(x)y$

Observe que se $y_1$ e $y_2$ são duas funções (duas vezes deriváveis) então

$L(y_1+y_2)=(y_1+y_2{)}^{″}+f(x)(y_1+y_2{)}^{\prime }+g(x)(y_1+y_2)$, o que resulta em:

$L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2).$

Se α e β pertencem a $R$ , sendo $y$ uma função $L($α $y_1)=$ α $L(y_1)$ e $L($ β $y_2)=$ β $L(y_2)$, podemos juntar os dois fatores e obter que $L$ é um operador linear

$L($α $y_1+$ β $y_2)=$ α $L(y_1)+$ β $L(y_2).$

Classificação

As EDOL de Segunda Ordem podem ser ainda classificadas em Homogêneas e Heterogêneas. Elas são conhecidas como Homogêneas quando a função r(x) é igual a zero e Heterogêneas caso contrário.

Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Homogêneas

• $x(3x+2)y^{″}+6(x+1)y^{\prime }-6y=0$

• $y^{″}-2y^{\prime }+y=0$

Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Heterogêneas

• $y^{″}+3y^{\prime }+2y=2e^x$

• $y^{″}-2y^{\prime }+y=x{e}^x$

• $y^{″}+y=sen(x)$

• $y^{″}+3y^{\prime }+2y=5$

Princípio de Superposição

Se $y_1$ e $y_2$ são duas soluções de uma EDOLH (equação diferencial linear homogênea), então qualquer combinação linear

$C_1{y}_1+C_2{y}_2$ também é solução.

Demonstração: Sejam se $y_1(t)$ e $y_2(t)$ duas soluções de uma EDOLH $L(y)=0$. Então, $L(y_1)=0$e $L(y_2)=0$.

Da linearidade, segue que

$L(C_1{y}_1+C_2{y}_2)=C_{1}L(y_1)+C_{2}L(y_2)$,que é $C_{1}0+C_{2}0=0$.

Logo, a combinação linear $C_1{y}_1+C_2{y}_2$ também é solução

Observação 1. Uma situação particular do Princípio de Superposiçãp é: se $y_1$ é uma solução de uma EDOLH, então qualquer múltiplo $C{y}_1$ também o é.

Observação 2. O espaço vetorial das soluções de $L(y)=0$ tem dimensão dois, ou seja, existem duas soluções linearmente independentes $y_1$ e $y_2$ tais que qualquer solução de $L(y)=0$ é combinação destas

Métodos de Solução

Equação Diferencial Linear Homogênea

Normalmente resolvemos uma EDOL homogênea utilizando o Método de d'Alembert, no caso em que conhecemos uma das soluçoes da equações. Caso não se conheça uma das soluçoes, um dos métodos de resolução é utilizar a equação característica da equação.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea

Usualmente as soluções são identificadas em duas etapas:

Primeiro: encontra-se a solução da EDOL homogênea associada à determinada EDOL de Segunda Ordem Heterogênea

Segundo: busca-se a solução particular da equação heterogênea. Nesse caso pode ser utilizado o Método dos Coeficientes Constantes ou o Método da Variação de Parâmetros.

A solução geral se dará a partir da soma da solução da EDOL homogênea associada com a solução particular da EDOL heterogênea.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação de Bernoulli
• Equação diferencial linear

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• http://www.ime.unicamp.br/~msantos/Aula_7.pdf
• https://web.archive.org/web/20160722173626/http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edo2ord.htm