Método de d'Alembert

O método de d'Alembert, introduzido por Jean le Rond d'Alembert (matemático francês), permite transformar uma equação diferencial linear de ordem $n$ numa outra equação linear de ordem $n-1,$ a partir de uma solução particular conhecida.

No caso de uma equação diferencial linear de segunda ordem, se for conhecida uma solução não trivial de uma EDOLH, empregando o método de D’Alembert podemos determinar uma segunda solução linearmente independente da primeira. Para isto vamos ter que resolver uma EDO de primeira ordem. Essas duas soluções linearmente independentes vão constituir um sistema fundamental de soluções e vão nos permitir escrever a solução geral da EDOLH dada. Portanto, o método de D’Alembert é um método de redução de ordem: conhecendo uma solução não trivial de uma EDOLH de segunda ordem, sua resolução se reduz a resolver uma EDO de primeira ordem. Ou seja, este método permite calcular a solução geral a partir de uma solução particular. Para calcular a solução geral utilizamos o método:

Seja $y_1$ uma solução conhecida para a equação linear homogênea de segunda ordem, é procurado uma solução $y_2=v{y}_1$ Queremos que $y_2$ seja solução de $L(y_1+y_2)=0$ ,então calculando as derivadas ${y_2}^{″}$ e ${y_2}^{\prime }$ fazemos a substituição em:

$y^{″}+f(x)y^{\prime }+g(x)y=0$

Essa substituição resultará em uma equação do tipo:

$v{y_1}^{″}+f(x){y_1}^{\prime }+g(x)v^{″}{y}_1+y_1+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+f(x)v^{\prime }{y}_1=0$

Reorganizando os termos e lembrando que ${y_1}^{″}+f(x){y_1}^{\prime }+g(x)y_1=0$ , pois $y_1$ é solução da equação diferencial ordinária homogênea, teremos que $v$ satisfaz uma equação ordinária de segunda ordem redutível à primeira, do tipo:

$y_1{v}^{″}+(2{y_1}^{\prime }+f(x)y_1)v^{\prime }=0$

A primitiva de $v^{\prime }$ dá a função $v,$ que, multiplicada por $y_1,$ conduz à segunda solução da equação, $y_2$. A solução geral será da forma:

$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$

Onde $C_1$ e $C_2$ são encontrados através das condições de contorno do problema.

Exemplo

Sabendo que $y_1$é solução da equação diferencial dada, encontre a solução geral

$(x^2+1)y^{″}-2x{y}^{\prime }+2y=0y_1(x)=x$

A solução geral encontra-se usando o método de D'Alembert

$y=v{y}_1$

$\begin{array}{ccc}(x^2+1)(v{y_1}^{″}+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v^{″}{y}_1)-2x(v{y_1}^{\prime }+v^{\prime }{y}_1)+2v{y}_1& =& 0\\ (x^2+1)(2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v^{″}{y}_1)-2x{v}^{\prime }{y}_1& =& 0\\ x(x^2+1)v^{″}+2v^{\prime }& =& 0\end{array}$

Esta última equação pode ser considerada uma equação de primeira ordem em que a variável dependente é $v^{\prime }.$ Separando as variáveis e integrando obtém-se

$\begin{array}{cc}& \int \frac{d{v}^{\prime }}{v^{\prime }}=-2\int \frac{dx}{x(x^2+1)}+C\\ & v^{\prime }=C_1(1+\frac{1}{x^2})\\ & v=C_1(x-\frac{1}{x})+C_2\\ & y=C_1(x^2-1)+C_{2}x\end{array}$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli