Função exponencial

Esboço do gráfico de uma função exponencial

Chama-se função exponencial a função $f:ℝ\to {ℝ}_{+}^{*}$ tal que $f(x)=a^x$ em que $a\in ℝ$, $0<a\ne 1$. O número $a$ é chamado de base da função. A função exponencial $f(x)=a^x$ pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se $a>1$, a função é crescente. Caso $0<a<1$ a função é decrescente.

Definição formal

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,

$\genfrac{}{}{0ex}{}{a^n=}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}{n},$

Esta definição implica as seguintes propriedades:

• $a^{n+m}=a^n{a}^m;$
• $a^{nm}={\left(a^n\right)}^m.$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

• $a^0=1,\mathrm{\forall }a\ne 0;$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n},\mathrm{\forall }a\ne 0,n\in \mathbb{N};$
• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\mathrm{\forall }a>0,n\in \mathbb{N};$
• $a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n},\mathrm{\forall }a>0,n\in \mathbb{Z}m\in \mathbb{N}.$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:

$a^x=\underset{\frac{n}{m}<x}{\sup }{a}^{\frac{n}{m}},a>1;$

$a^x=\underset{\frac{n}{m}<x}{\inf }{a}^{\frac{n}{m}},a<1.$

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

• $f(x+y)=f(x)f(y);$
• $f(1)=a.$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:

• $a^x=e^{\ln (a)x}.$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

• $a^1=a$
• $a^{x+y}=a^x{a}^y,\mathrm{\forall }x,y\in ℝ$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

1. $a^0=\frac{a^{1+0}}{a^1}=\frac{a^1}{a^1}=1,$
2. $a^{-x}=\frac{a^{(-x)+x}}{a^x}=\frac{a^0}{a^x}=\frac{1}{a^x},\mathrm{\forall }x\in ℝ$

Propriedades da função exponencial

Função exponencial crescente

Função exponencial decrescente

A função exponencial de base $a$, $f(x)=a^x$, tem as seguintes propriedades:

1. $f(x)>0$ para todo $x\in ℝ$;
2. $f(x)$ é função crescente se, e somente se, $a>1$;
3. $f(x)$ é função decrescente se, e somente se, $0<a<1$;
4. $f(x)$ é injetiva;
5. $f(x)$ é ilimitada superiormente;
6. $f(x)$ é contínua;
7. $f(x)$ é sobrejetiva;
8. $f(x)$ é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada ${\log }_a(x)$.

Demonstrações das propriedades

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que $f(x)\ne 0$ para todo $x\in ℝ$. Com efeito, notamos que $f(0)=1\ne 0$. Suponhamos, por contradição, que $f(x)=a^x=0$ para algum $x\ne 0$. Mas, daí temos $0=a^x{a}^{-x+1}=a>0$, uma contradição. Concluímos que $f(x)\ne 0$ para todo $x\in ℝ$.

Como consequência $f(x)>0$ para todo $x\in ℝ$, uma vez que $f(0)=a^0=1$.

Propriedade 2

Sejam $x,y\in ℝ$. Suponhamos, sem perda de generalidade, que $x<y$. Tomamos, então, $p>0\in ℝ$ tal que $y=x+p$. Segue que $a^y-a^x=a^{x+p}-a^x=a^x(a^p-1)$. Pela propriedade 1, temos $a^x>0$. Logo, $a^x<a^y$ se, e somente se, $a^p>1$. Como $p>0$, $a^p>1$ se, e somente se, $a>1$. Concluímos que, $f(x)<f(y)$ se, e somente se, $a>1$.

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja $f(x)=a^x$ com $a>1$. Tomamos $d\in ℝ$ tal que $a=1+d$. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos $a^n>1+nd$. Logo, dado qualquer $L>0$, se escolhemos $x$ como o menor inteiro maior que $\frac{L-1}{d}$, temos $f(x)>L$, i.e. $f(x)$ é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para $0<a<1$.

Propriedade 6

Para qualquer $c\in ℝ$, temos $f(c)$ está bem definida. Além disso, temos:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }f(c+h)=\underset{h\to 0}{\lim }{a}^{c+h}=\underset{h\to 0}{\lim }{a}^c{a}^h=a^c\underset{h\to 0}{\lim }{a}^h$

Como, $\underset{h\to 0}{\lim }{a}^h=1$, seque que:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$.

Lema

Dados um número real $a\ne 1$ e um intervalo $I=[c,d]\subset {ℝ}_{+}^{*}$, com $d>c$, então existe um número racional $r\in \mathbb{Q}$ tal que $a^r\in I$.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que $a,c>1$. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural $n_1\in \mathbb{N}$ tal que:

$c<d<a^{n_1}$.

Como consequência, existe um número natural $n_2\in \mathbb{N}$ tal que:

$1<a<{(1+\frac{d-c}{a^{n_1}})}^{n_2}$.

Daí, segue que:

$1<a^{\frac{1}{n_2}}<1+\frac{d-c}{a^{n_1}}\Rightarrow 0<a^{n_1}(a^{1/n_2}-1)<d-c$.

Assim:

$\frac{m}{n_2}\le n_1\Rightarrow a^{\frac{m}{n_2}}(a^{\frac{1}{n_2}}-1)=a^{\frac{m+1}{n_2}}-a^{\frac{m}{n_2}}<d-c$.

Desta forma, temos que:

$a^0<a^{\frac{1}{n_2}}<a^{\frac{2}{n_2}}<\cdots <a^{n_1}$

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo $I=[c,d]$. Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a $I$, i.e. para algum $m$, temos $a^r\in I$ com $r=\frac{m}{n_2}$.

Propriedade 7

Seja $y\in {ℝ}_{+}^{*}$. Suponhamos que $a>1$. Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada $(r_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que $a^{r_n}\in [y-\frac{1}{n},y]$. Pela completude dos números reais, temos que $r_n\to x$ quando $n\to \mathrm{\infty }$. Segue da continuidade de $f(x)$ (propriedade 6), que:

$a^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{r_n}=y$

i.e., dado $y\in {ℝ}_{+}^{*}$, existe $x\in ℝ$ tal que $f(x)=a^x=y$. A demonstração para $0<a<1$ segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural

Esboço do gráfico da função exponencial natural

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por e^x ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

Aqui, $n!$ corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, $e$, é aproximadamente $2.718281828$.

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.
• A derivada da função y = e^x é a própria função função y = e^x.
• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.
• e^x+y = e^x e^y
• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^x=0.$

• A função $y=e^x$ é igual a sua derivada, i.e.:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^x=e^x$.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

$a^x=e^{x\ln a}$

Para todo a > 0 e $x\in ℝ.$

Derivada e integral da função exponencial

Comportamento da função exponencial

A derivada da função exponencial de base $a$, $f(x)=a^x$ é dada por:

$\frac{d}{dx}f(x)=a^x\ln a$.

De fato, como $a^x=e^{(\ln a)x}$ temos da regra da cadeia que:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{a}^x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^{(\ln a)x}=(\ln a)e^{(\ln a)x}=a^x\ln a$.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

$\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}{a}^x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}{a}^x\ln a=a^x(\ln a{)}^2$

Como $(\ln (a){)}^2$ é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:

$\int a^x\text{d}x=\int e^{\ln ax}\text{d}x=\frac{1}{\ln a}{e}^{\ln ax}+C=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C$.

Ver também

• Crescimento exponencial