Crescimento exponencial

O gráfico mostra como o crescimento exponencial (verde) supera tanto o crescimento linear (vermelho) quanto o cúbico (azul). Predefinição:Legend Predefinição:Legend Predefinição:Legend

Crescimento exponencial é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função (como em funções polinomiais. Ex.: $y=ax+b$), e sim da interação entre uma constante de crescimento e uma variável $x$, podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits, (ver: complexidade computacional) etc; sendo assim proporcional ao valor atual da função.

Ocorre da mesma forma que decaimento exponencial ou geométrico, porém, no decaimento, há um decréscimo do valor de Y.

Fórmula geral/básica

Uma quantidade y depende exponencialmente do tempo x em:

$y=x_0.a^{x+b}+c$

"Movendo-se" graficamente na direção do eixo das ordenadas com variação em $b$, e no eixo das abscissas com variação em $c$.

Para ser considerado crescimento exponencial, $a$ deve possuir valor maior do que 1, caso contrário será considerado Decaimento Exponencial.

Note que o ponto de cruzamento com o eixo $y$ se dá em (0,$X_0+a$), visto que, igualando $x$ a 0, a equação geral transmite que $y=x_0+c$

A quantidade x depende exponencialmente do tempo t se

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$

onde a constante a é o valor inicial de x,

$x(0)=a,$

a constante b é um fator de crescimento positivo, e τ é a constante de tempo necessária para x aumentar em um fator de b:

$x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac{t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac{t}{\tau }}\cdot b^{\frac{\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b.$

Se τ > 0 e b > 1, então x cresce exponencialmente. Se τ < 0 e b > 1, ou τ > 0 e 0 < b < 1, então x expressa decaimento exponencial.

Exemplos teóricos

$2^x=y$ , onde com o aumento da variável de 1 em 1 unidade, temos um crescimento exponencial.

$2^1=2$ ;

$2^2=4$ ;

$2^3=8$ ;

etc.

$y=a.(1,2^x)$, onde o valor 1,2 equivale a um crescimento de 20% em função da variável de tempo $x$ sobre a constante $a$

Exemplos com $a=1$

$1=1.(1,2^0)$

$1,2=1.(1,2^1)$

$1,44=1.(1,2^2)$

etc

Exemplos práticos

Na biologia

Bactéria exibindo crescimento exponencial sob condições ideais.

• O número de micro-organismos em uma cultura em situação ideal de proliferação tem seu aumento de forma exponencial, uma vez que por conta do processo de mitose, o $a$ presente na fórmula é igual a 2, que será elevado pela variável relativa à unidade de tempo de cada ciclo mitótico. ($X_t=X_0.2^t$)
• Vírus tendem a aumentar sua quantidade exponencialmente, uma vez que, em situação ideal, um vírus unitário gera $a$ descendentes, que por sua vez, resultará, baseado em um número $x$ de ciclos líticos em um número $y$ de outros corpos virais.($y=a^x$)

Na economia

• O crescimento do produto interno bruto (PIB) de um país é exponencial. Por exemplo, um crescimento a uma taxa de 2,5% ao ano, faz com que uma economia dobre de tamanho a cada 28,8 anos; já um crescimento de 8% ao ano, faz com que a mesma dobre dentro de 9 anos.

Nas finanças

• Juros compostos são calculados usando crescimento exponencial, uma vez que a quantidade a ser cobrada a mais na próxima parcela depende não só da quantidade inicial, mas da parcela anterior a qual os juros já foram previamente aplicados.

Na Física

• A quebra de átomos em uma fissão nuclear, na qual a quebra de um átomo de urânio 235 acarreta na liberação de 3 nêutrons, os quais quebram mais 3 átomos, desse modo tornando o processo uma cadeia com crescimento exponencial.

Na informática

• O número de transistores de um chip de processamento seria dobrado a cada período equivalente a um ano e meio (Lei de Moore).

Limitações do modelo

Modelos exponenciais relativos a fenômenos físicos só podem se aplicar a regiões previamente delimitadas, já que um modelo com crescimento infinito não é fisicamente realístico.

Para crescimentos como a população de um país, recomenda-se o uso de função logística, pois retrata o crescimento levando em conta fatores limitantes, como espaço, alimento, etc.

Ver também: Thomas Malthus

Equação diferencial

A função exponencial $x(t)=x(0)e^{kt}$ satisfaz a função diferencial linear:

$\frac{dx}{dt}=kx$

ao dizermos que o crescimento da taxa de x em um tempo t é proporcional ao valor de x(t), e tem o valor inicial

$x(0).$

A equação diferencial é resolvida por integração direta:

$\frac{dx}{dt}=kx$

$\Rightarrow \frac{dx}{x}=kdt$

$\Rightarrow \underset{x(0)}{\overset{x(t)}{\int }}\frac{dx}{x}=k\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt$

$\Rightarrow \ln \frac{x(t)}{x(0)}=kt.$

então

$\Rightarrow x(t)=x(0)e^{kt}$

Equação recorrente

A equação recorrente

$x_t=a\cdot x_{t-1}$

tem solução

$x_t=x_0\cdot a^t,$

mostrando que x exibe crescimento exponencial.

Reformulação como log-linear

Ao plotarmos a função exponencial em um gráfico, notamos uma curva que rapidamente cresce e deixa de ser didática para números muito altos, perdendo precisão no eixo X, já que pontos próximos são atribuídos à valores muito distantes no eixo Y.

Para contornar esse problema, há a possibilidade de, ao invés de se utilizar uma escala baseada em $F(x)$, que cresce exponencialmente, utilizar-se de uma escala baseada em $LogF(x)$, que cresce linearmente, tornando a representação gráfica mais didática.(note que há possibilidade de utilizar-se dessa técnica em ambos os eixos, tornando assim o gráfico "loglog")

Se a variável x exibe crescimento exponencial de acordo com $x(t)=x_0(1+r{)}^t$, então o Log (à qualquer base) de x cresce linearmente com o tempo, como pode ser visto adicionando logaritmos aos dois lados da equação de crescimento exponencial:

$\log x(t)=\log x_0+t\cdot \log (1+r).$

Isso permite a variável de crescimento exponencial a ser expressa como modelo Log-Linear ou LogLog. Por exemplo, caso quisermos estimar a taxa de crescimento de um valor atemporal em x, podemos regredir linearmente log x em t.

Histórias sobre o crescimento exponencial

Arroz no tabuleiro de xadrez

De acordo com a lenda, um rei indiano foi, certa vez, presenteado com um tabuleiro de xadrez feito à mão, e ao perguntar para o homem que havia lhe dado o presente o que ele gostaria de receber em recompensa, o homem disse que gostaria de receber o pagamento em arroz, sendo a quantidade do grão relativa às casas do tabuleiro: um grão na primeira casa, dois grãos na segunda, quatro na terceira, oito na quarta, e assim por diante. o Rei concordou com a condição, e de pronto pediu para que o arroz fosse dado ao homem, porém, chegada na vigésima primeira casa, já eram necessários mais de um milhão de grãos de arroz, e antes de chegar na casa número 50, já não haveria mais arroz suficiente no mundo.

Essa história mostra como nosso raciocínio não funciona bem pensando exponencialmente, visto que o crescimento toma proporções muito maiores do que conseguimos conceber rapidamente.

Vitória-Régia

Na historia francesa contada para crianças, havia um lago, e pela sua superfície, flutuavam vitórias régias. A população das plantas dobrava a cada dia, e caso o lago não fosse vigiado, em 30 dias as plantas cobririam toda a superfície, matando o resto das formas de vida lá existentes. Como a quantidade parecia pequena, o lago foi deixado sem cuidado até o dia em que metade da superfície foi coberta, porém, o dia em questão era o dia 29, um dia antes do lago ser completamente tomado pelas plantas, restando somente 24 horas para que o local fosse salvo.

Ver também

• Lei de Moore
• Função logística
• Leonhard Euler

Ligações externas

• Breve História Matemática da Dinâmica Populacional, 2021.