Decaimento exponencial

Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se $p$ representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é $pN$, em que $N$ é o número de átomos existentes em cada instante. O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função $N$

$\frac{dN}{dt}=-pN$

Decaimento exponencial de uma substância radioativa.

A massa dos correspondentes átomos, $x$, é diretamente proporcional a $N$ e assim obtemos a seguinte equação diferencial

$\frac{dx}{dt}=-px$

onde $p$ é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero

$x=C{e}^{-pt}$

e a solução única para a condição inicial $x=x_0$ no instante inicial é (figura ao lado)

$x=x_0{e}^{-pt}$

A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos

$0,5=e^{-pt}t=\frac{\ln 2}{p}$

Quanto maior for a constante de decaimento $p$, mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de ${\mathrm{C}}_{14}$ em relação ao ${\mathrm{C}}_{12}$ de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação ${\mathrm{C}}_{14}/{\mathrm{C}}_{12}$ nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem ${\mathrm{C}}_{14}$ como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em ${\mathrm{C}}_{14}$ pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14. Predefinição:Referências Predefinição:Equações diferenciais