Fatorial

Fatoriais selecionados; valores em notação científica são arredondados

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	Predefinição:Val
8	Predefinição:Val
9	Predefinição:Val
10	Predefinição:Val
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[[googol|Predefinição:Val]]	10Predefinição:Val

Na matemática, o Predefinição:PU-AO45 de um número natural Predefinição:Mvar, denotado por Predefinição:Math, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a Predefinição:Mvar. O fatorial de Predefinição:Mvar também é igual ao produto de Predefinição:Mvar e o fatorial de seu antecessor: $$\begin{array}{cc}n!& =n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\ & =n\times (n-1)!\\ \end{array}$$ Por exemplo, $$5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$$ O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.

Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de Predefinição:Mvar distintos objetos: existem Predefinição:Math. Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.

Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).

Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.

Definição

A função fatorial é normalmente definida por:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Por exemplo, $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$. Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até $n$, $n!$, pode ser definido pelo produto de $n$ com o fatorial de seu antecessor. Logo, $5!=5\times 4!=120$. De forma geral:

$n!=n\times (n-1)!$

que pode ser reescrito da seguinte forma:

$(n-1)!=\frac{n!}{n}$

Portanto:

$3!=\frac{4!}{4}=\frac{4\times 3!}{4}=6$

$2!=\frac{3!}{3}=\frac{3\times 2!}{3}=2$

$1!=\frac{2!}{2}=\frac{2\times 1}{2}=1$

Esta definição implica em particular que $0!=1$, pois

$0!=\frac{1!}{1}=\frac{1}{1}=1$

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

$z!=\mathrm{\Gamma }(z+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}dt$

A sequência dos fatoriais Predefinição:OEIS para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, Predefinição:Fmtn, Predefinição:Fmtn, Predefinição:Fmtn, Predefinição:Fmtn...

Aplicações

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xⁿ é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como calcular fatoriais

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10¹⁰⁰.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

${\left(\frac{n}{3}\right)}^n<n!<{\left(\frac{n}{2}\right)}^n\text{se}n\ge 6.$

Logaritmo de fatorial

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

$\ln (n!)=\sum _{k=1}^n\ln (k)$

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator $\frac{\ln (n!)}{n}$ cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

$\ln (n!)\approx n\ln (n)-n+\frac{\ln (n)}{2}+\frac{\ln (2\pi )}{2}.$

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

Generalidades

A função gama similar

Predefinição:AP A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:

$n!=n(n-1)!$

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$

Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n\ge 1.$

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:

• Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
• Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
• Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).

Multifactoriais

Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

$n!!=\{\begin{array}{ccc}1,& & \text{se }n=0\text{ ou }n=1;\\ n(n-2)!!& & \text{se }n\ge 2.\end{array}$

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}$

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\frac{(2n-1)!!}{2^n}$

Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!^(k), é definido recursivamente como

$n{!}^{(k)}=\{\begin{array}{ccc}1,& & \text{se }0\le n<k;\\ n(n-k){!}^{(k)},& & \text{se }n\ge k.\end{array}$

Hiperfactoriais

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

$H(n)=\prod _{k=1}^n{k}^k=1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdots (n-1{)}^{n-1}\cdot n^n$

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...

A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Superfactoriais

Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

$\mathrm{s}\mathrm{f}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288$

No geral,

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}=1^n\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1{)}^2\cdot n^1.$

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... Predefinição:OEIS

Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... Predefinição:OEIS

e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

$\mathrm{m}\mathrm{f}(n,m)=\mathrm{m}\mathrm{f}(n-1,m)\mathrm{m}\mathrm{f}(n,m-1)=\prod _{k=1}^n{k}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+m-1}{n-k})}$

onde $\mathrm{m}\mathrm{f}(n,0)=n$ para $n>0$ e $\mathrm{m}\mathrm{f}(0,m)=1$.

Hiperfatoriais (definição alternativa)

Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como

$n\mathrm{\$}=n^{(4)}n$

onde a notação científica ⁽⁴⁾ denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

$n\mathrm{\$}=(n!)\uparrow \uparrow (n!)$

Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:

$1\mathrm{\$}=1$

$2\mathrm{\$}=2^2=4$

$3\mathrm{\$}=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$

Fatoração prima de fatoriais

A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Algoritmo

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java

Recursivo

int fatorial (int numero) {
    return numero == 0 ? 1 : numero * fatorial(numero - 1);
}

Iterativo

int fatorial (int numero) {
    int resultado = numero;
    if (numero == 0) resultado++;
    while (numero > 1) resultado *= --numero;
    return resultado;
}

Ver também

• Função digama
• Função gama
• Fórmula de Stirling
• Desarranjo
• Número triangular

Ligações externas

• Predefinição:Link
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• Predefinição:Link