Função algébrica

Em matemática, uma função algébrica é uma função que pode ser expressa como: $P_0(x)y^n+P_1(x)y^{n-1}+...+P_{n-1}(x)y^1+P_n(x)y^0=0$.

Frequentemente as funções algébricas são expressões algébricas com um número finito de termos, envolvendo apenas as operações algébricas de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação com um expoente fracionário.

$Func\tilde{o}esAlg\acute{e}bricas\{\begin{array}{c}Explicitas\{\begin{array}{c}Racionais\{\begin{array}{c}Inteiras\\ Fracion\acute{a}rias\end{array}\\ Irracionais\end{array}\\ Implicitas\end{array}$

Exemplos

• $f(x)=\frac{1}{x}$
• $f(x)=\sqrt{x}$
• $f(x)=\frac{\sqrt{1+x^3}}{x^{3/7}-\sqrt{7}{x}^{1/3}}$

Algumas funções algébricas, no entanto, não podem ser expressas por tais expressões finitas (este é o teorema de Abel–Ruffini). Este é o caso, por exemplo, do radical de Bring, que é a função definida implicitamente por:$$f(x{)}^5+f(x)+x=0.$$

Em termos mais precisos, uma função algébrica de grau Predefinição:Math em uma variável Predefinição:Math é uma função $y=f(x),$ que é contínua em seu domínio e satisfaz uma equação polinomial:

$$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_0(x)=0$$

em que os coeficientes Predefinição:Math são funções polinomiais de Predefinição:Math, com coeficientes inteiros.

O valor de uma função algébrica em um número racional, e mais geralmente, em um número algébrico é sempre um número algébrico.

Algumas vezes, são considerados coeficientes $a_i(x)$ que são polinômios sobre um anel Predefinição:Mvar, e fala-se sobre "funções algébricas sobre Predefinição:Mvar".

Uma função que não é algébrica é chamada de função transcendental, como é o caso, por exemplo, de $\exp (x),\tan (x),\ln (x),\mathrm{\Gamma }(x).$

Uma composição de funções transcendentais pode resultar em uma função algébrica: $f(x)=\cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}.$

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld
• "Algebraic function". Encyclopedia of Mathematics.