Equação polinomial

Em Matemática, equações polinomiais monovariáveis são expressões de uma variável da forma:

$$P(x)=0,$$em que

• $P(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_0,a_n\ne 0;$
• $x$ é a incógnita;
• $n$ é o grau do polinômio (ou da equação);
• e os coeficientes $a_k$ são constantes (podendo ser números inteiros, racionais, reais, complexos ou, generalizando, elementos de certo anel predefinido).

"Resolver" uma equação polinomial significa calcular suas raízes, ou seja, encontrar quais são os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira. Uma equação de grau $n$ possui sempre n raízes, sejam elas reais ou complexas. O conjunto com todas as raízes de uma equação polinomial é chamado conjunto solução dessa equação.

Todas as equações de 1° e 2° grau com coeficientes racionais podem ser resolvida por radicais, já equações de 3° e 4° grau podem ser resolvidas por radicais ou podem necessitar de cálculos trigonométricos. Equações de 5ª ordem ou superior não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, como afirma o teorema de Abel-Ruffini.

Fatoração

Toda equação polinomial pode ser fatorada em binômios de primeiro grau na forma $P(x)=a_n(x-r_1)\cdot (x-r_2)...(x-r_n),$ em que $r_1,r_2,...,r_n$são as raízes de P(x) (raízes da equação polinomial).

Exemplos

• $x+34=0$ é de grau 1 e sua única solução real é dada por: $x=-34$, pois se no lugar de x usarmos o -34 tornaremos a igualdade verdadeira:$$-34+34=0$$
• $x^2-4=0$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: $x=\pm 2$, pois se no lugar de x usarmos o 2 ou o -2 tornaremos a igualdade verdadeira:$$2^2-4=4-4=0$$$(-2{)}^2-4=4-4=0$

• $x^2-5x+4=0$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: $x=1$ e $x=4$.
• $x^{11}+x^2+x+7=0$ é de grau 11 e sua única solução real é: $x\approx -1.1971155422140012$.

Ver também

• Polinômio
• Regra dos sinais de Descartes
• Equação do segundo grau
• Equação do terceiro grau
• Equação do quarto grau

Ligações externas

• Resolver Graficamente uma Equação Polinomial
• Resolver Graficamente uma Inequação Polinomial