Fatoração

Predefinição:PBPE (AO 1945: Factorização) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição,^[1] o fator é como se chama cada elemento que integra o produto.^[2]^[1]

Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia.

De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática.^[1]

Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior.

Principais tipos de fatoração

Evidência: A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas. $a x + b x + c x = x . (a + b + c)$
Agrupamento: $a x + a y + b x + b y = (a x + a y) + (b x + b y) = a . (x + y) + b . (x + y) = (a + b) . (x + y)$
Trinômio quadrado perfeito: $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$
Diferença de dois quadrados: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
Trinômio do 2º Grau: $x^{2} + (a + b) . x + (a . b) = (x + a) . (x + b)$
Soma de dois quadrados (não é fatorável nos números reais, mas pode ser fatorada nos números complexos): $a^{2} + b^{2} = (a + i . b) (a - i . b)$
Identidade de Sophie-Germain: $a^{4} + 4 b^{4} = a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} - (2 a b)^{2} = {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - (2 a b)^{2} = (a^{2} + 2 b^{2} + 2 a b) \cdot (a^{2} + 2 b^{2} - 2 a b)$
Soma de dois cubos: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
Diferença de dois cubos: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$
Diferença de potências:
$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$
$a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{(n - 1) - k}$
Soma de potências (n ímpar): $a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots - a b^{n - 2} + b^{n - 1})$
Diferença entre uma potência de 2 e 1: $2^{n} - 1 = 2^{n} - 1^{n} = (2 - 1) \times (\sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{k} \times 1^{(n - 1) - k}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{k}$
Diferença entre uma potência de um natural e 1: $a^{n} - 1 = a^{n} - 1^{n} = (a - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} \times 1^{(n - 1) - k} = (a - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k}$