Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:$$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,$$em que os coeficientes $a\ne 0$, $b$, $c$, $d$ e $e$ são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Exemplos

$$x^4+2x^3-13x^2-14x+24=0$$$$x^4-1=0$$$$x^4-5x^2+6=0$$

Existência de soluções

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Predefinição:Artigo principal Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:$$p{x}^4+q{x}^2+r=0.$$Como $p\ne 0$, esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis $y=x^2$, de modo que$$p{y}^2+qy+r=0.$$Os valores de $y$ que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: $y=\frac{-q\pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p}.$ Logo, $x=\pm \sqrt{\frac{-q+\sqrt{q^2-4pr}}{2p}}$ e $x=\pm \sqrt{\frac{-q-\sqrt{q^2-4pr}}{2p}}$.

Produtos Notáveis

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida $(x^4+a{x}^2+bx+c=0),$ apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em $x=-\frac{b}{4a}.$

• Exemplo: $x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0$ quando reduzido fica na forma $z^4=0,$ logo $x=-\frac{b}{4a}$ ou $x=1.$

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:$$x^4+p{x}^2+q=rx$$Nota-se que a equação geral $a{z}^4+b{z}^3+c{z}^2+dz+e=0$ pode ser reduzida a este caso através da transformação $z=x-\frac{b}{4a},$ e dividindo a equação resultante por $a$.

Ao dividirmos a equação por $a$, a equação terá a forma $z^4+A{z}^3+B{z}^2+Cz+D=0$, onde $A=\frac{b}{a}$, $B=\frac{c}{a}$, $C=\frac{d}{a}$ e $D=\frac{e}{a}$. Ao realizar a substituição $z=x-\frac{B}{4}$ a equação assumirá a forma reduzida $x^4+p{x}^2+q=rx$, onde

$p=B-\frac{3}{8}{A}^2$

$r=-\frac{1}{8}{A}^3+\frac{1}{2}AB-C$

$q=-\frac{3}{256}{A}^4+\frac{1}{16}{A}^{2}B-\frac{1}{4}AC+D$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual $(x^2+A{)}^2-(Bx+C{)}^2=0,$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^4+p{x}^2+q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^4+q,$ ou seja, $x^4+2\sqrt{q}{x}^2+q:$$$x^4+q=rx-p{x}^2$$$$x^4+2\sqrt{q}{x}^2+q=(2\sqrt{q}-p)x^2+rx$$$$(x^2+\sqrt{q}{)}^2=rx+(2\sqrt{q}-p)x^2$$Em seguida, somam-se termos em uma nova variável $y,$ porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar $y^2,$ devemos somar também $2y\cdot (x^2+\sqrt{q}),$ ou seja:$$(x^2+\sqrt{q}{)}^2+2y\cdot (x^2+\sqrt{q})+y^2=rx+(2\sqrt{q}-p)x^2+2y\cdot (x^2+\sqrt{q})+y^2$$Reescrevendo:$$(x^2+\sqrt{q}+y{)}^2=(2\sqrt{q}-p+2y)x^2+rx+2y\sqrt{q}+y^2$$O segundo membro da equação pode ser reescrito como $(2\sqrt{q}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),$ onde $x_{+}$ e $x_{-}$ são soluções da equação quadrática

$(2\sqrt{q}-p+2y)x^2+rx+2y\sqrt{q}+y^2=0,$ ou seja, $x=\frac{-r\pm \sqrt{r^2-4\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)\cdot (2y\sqrt{q}+y^2)}}{2\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que $(2\sqrt{q}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})$ seja um quadrado, então escreveremos que $x_{+}=x_{-},$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:$$r^2-4\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)\cdot (2y\sqrt{q}+y^2)=0$$que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:$$8y^3+(24\sqrt{q}-4p)y^2+(16q-8p\sqrt{q})y-r^2=0,$$onde apenas uma raiz $y_1$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando $r\ne 0$, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva.

Retomando o cálculo da incógnita $x,$ temos que $x_{+}=x_{-}=-\frac{r}{2\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)}$

Com isso a equação $(x^2+\sqrt{q}+y{)}^2=(2\sqrt{q}-p+2y)\cdot {(x+\frac{r}{2\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)})}^2,$ pode ser reescrita como $(x^2+\sqrt{q}+y{)}^2-{\left(\sqrt{2\sqrt{q}-p+2y}\right)}^2\cdot {(x+\frac{r}{2\cdot (2\sqrt{q}-p+2y)})}^2=0,$ ou $(x^2+\sqrt{q}+y{)}^2-{(x\sqrt{2\sqrt{q}-p+2y}+\frac{r}{\sqrt{8\sqrt{q}-4p+8y}})}^2=0$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

$x^2+\sqrt{q}+y\pm (x\sqrt{2\sqrt{q}-p+2y}+\frac{r}{\sqrt{8\sqrt{q}-4p+8y}})=0$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

$x^2+x\sqrt{2\sqrt{q}-p+2y}+\sqrt{q}+y+\frac{r}{\sqrt{8\sqrt{q}-4p+8y}}=0$

$x^2-x\sqrt{2\sqrt{q}-p+2y}+\sqrt{q}+y-\frac{r}{\sqrt{8\sqrt{q}-4p+8y}}=0$

Ver também

• Equação polinomial

Ligações externas

• Calculadora de equações do quarto grau