Números de Euler

Predefinição:Não confundir comEm matemática, os números de Euler são uma sequência E _n de inteiros Predefinição:OEIS definida pela expansão da série de Taylor

$\frac{1}{\cosh t}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$ ,

onde $\cosh (t)$ é a função cosseno hiperbólico . Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos polinômios de Euler, a saber:

$E_n=2^n{E}_n(\frac{1}{2}).$

Os números de Euler aparecem nas expansões da série de Taylor das funções secante e secante hiperbólica. Esta última é a função na definição. Elas também ocorrem em combinatória, especificamente ao contar o número de permutações alternadas de um conjunto com um número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler de índices ímpares são todos zero. Os pares Predefinição:OEIS têm sinais alternados. Alguns valores são:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	Predefinição:Val
E10	=	Predefinição:Val
E12	=	Predefinição:Val
E14	=	Predefinição:Val
E16	=	Predefinição:Val
E18	=	Predefinição:Val

Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero, ou alteram todos os sinais para positivos Predefinição:OEIS. Este artigo adere à convenção adotada acima.

Fórmulas explícitas

Em termos de números de Stirling do segundo tipo

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler em termos de números de Stirling do segundo tipo

$E_n=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^n\frac{(-1{)}^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}(3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{(\ell )}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{(\ell )}),$

$E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1{)}^{\ell }\cdot \frac{S(2n,\ell )}{\ell +1}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{(\ell )},$

onde $S(n,\ell )$ dentota os números de Stirling do segundo tipo, e $x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)$ denota o fatorial descendente.

Como uma soma dupla

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler como somas duplas

$E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1{)}^{\ell }\frac{1}{2^{\ell }(\ell +1)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{\ell })\sum _{q=0}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{q})(2q-\ell {)}^{2n},$

$E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^k\frac{1}{2^k}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1{)}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{\ell })(k-\ell {)}^{2n}.$

Como uma soma iterada

Uma fórmula explícita para os números de Euler é:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\ell })\frac{(-1{)}^{\ell }(k-2\ell {)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k},$

onde Predefinição:Mvar denota a unidade imaginária com Predefinição:Math .

Como uma soma sobre partições

O número de Euler Predefinição:Math pode ser expresso como uma soma sobre as partições pares de Predefinição:Math,

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{(-\frac{1}{2!})}^{k_1}{(-\frac{1}{4!})}^{k_2}\cdots {(-\frac{1}{(2n)!})}^{k_n},$

bem como uma soma sobre as partições ímpares de Predefinição:Math,

$E_{2n}=(-1{)}^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{(-\frac{1}{1!})}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

onde em ambos os casos Predefinição:Math e

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n})\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

é um coeficiente multinomial . Os deltas de Kronecker nas fórmulas acima restringem as somas sobre os Predefinição:Mvars a Predefinição:Math e a Predefinição:Math, respectivamente.

Como no exemplo:

$\begin{array}{cc}{E}_{10}& =10!(-\frac{1}{10!}+\frac{2}{2!8!}+\frac{2}{4!6!}-\frac{3}{2{!}^{2}6!}-\frac{3}{2!4{!}^2}+\frac{4}{2{!}^{3}4!}-\frac{1}{2{!}^5})\\ & =9!(-\frac{1}{9!}+\frac{3}{1{!}^{2}7!}+\frac{6}{1!3!5!}+\frac{1}{3{!}^3}-\frac{5}{1{!}^{4}5!}-\frac{10}{1{!}^{3}3{!}^2}+\frac{7}{1{!}^{6}3!}-\frac{1}{1{!}^9})\\ & =-50521.\end{array}$

Como um determinante

Predefinição:Math é dado pelo Determinante

$\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

Como uma integral

Predefinição:Math também é dado pelas integrais:

$\begin{array}{cc}(-1{)}^n{E}_{2n}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{2n}}{\cosh \frac{\pi t}{2}}dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}}{\cosh x}dx\\ & ={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\log }^{2n}(\mathrm{tg}\frac{\pi t}{4})dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\log }^{2n}(\mathrm{tg}\frac{x}{2})dx\\ & =\frac{2^{2n+3}}{{\pi }^{2n+2}}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}x{\log }^{2n}(\mathrm{tg}x)dx={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x}{2}{\log }^{2n}(\mathrm{tg}\frac{x}{2})dx.\end{array}$

Congruências

W. Zhang obteve as seguintes identidades combinatórias relativas aos números de Euler. Para qualquer primo $p$, nós temos

$(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}{E}_{p-1}\equiv \{\begin{array}{cc}0modp& \text{, se }p\equiv 1mod4;\\ -2modp& \text{, se }p\equiv 3mod4.\end{array}$

onde $amodb$ denota o resto da divisão inteira de a por b.

W. Zhang e Z. Xu provaram que, para qualquer primo $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ e inteiro $\alpha \ge 1$, nós temos

$E_{\varphi (p^{\alpha })/2}\equiv ̸0(\mathrm{mod}{p}^{\alpha })$

onde $\varphi (n)$ é a função totiente de Euler .

Aproximação assintótica

Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois têm o seguinte limite inferior

$|E_{2n}|>8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Números em ziguezague de Euler

A série de Taylor de $\sec x+\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})$ é

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n}{n!}{x}^n,$

onde Predefinição:Mvar são os números em ziguezague de Euler, começando com

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... Predefinição:OEIS

Para todos os Predefinição:Mvar pares,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n}{2}}{E}_n,$

onde Predefinição:Mvar é o número de Euler; e para todo Predefinição:Mvar ímpar,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1},$

onde Predefinição:Mvar é o número de Bernoulli .

$\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sen}\left(\frac{n\pi }{2}\right)+\sum _{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\mathrm{sen}\left(\frac{m\pi }{2}\right)=\frac{1}{(n-1)!}.$ Predefinição:Carece de fontes

Ver também

• Número de Bernoulli
• Constante de Euler-Mascheroni

Ligações externas

• Predefinição:SpringerEOM
• Predefinição:MathWorld