Constante de Euler-Mascheroni

A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni

A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama (Predefinição:Math) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, denotado aqui por Predefinição:Math:

$$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\log n+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})\\ [5px]& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })dx.\end{array}$$

Aqui, Predefinição:Math representa a função piso.

O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni, com 50 casas após a vírgula, é:

História

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10²⁴²⁰⁸⁰ dígitos (Havil, page 97).

Convergência

Como podemos escrever:

$\begin{array}{cc}\ln n& =[\ln n-\ln (n-1)]+[\ln (n-1)-\ln (n-2)]+\dots +[\ln 2-\ln 1]+\ln (1)\\ & =\sum _{k=2}^n[\ln k-\ln (k-1)]\end{array}$

Como $\ln k-\ln (k-1)=\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x}$

$\gamma =1+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x})$

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

$\frac{1}{k}\le \underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x}\le \frac{1}{k-1},k=2,3,4\dots$

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}|\frac{1}{k}-\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x}|=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x}-\frac{1}{k})\le \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$

Essa última expressão corresponde à

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1})$

Que é a série telescópica Dessa forma,

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}\frac{dx}{x}-\frac{1}{k})\le \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}|\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}|=|-1|=1$

Propriedades

O número $\gamma$ não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se $\gamma$ é irracional ou não. A análise de frações contínuas revela que se $\gamma$ é racional, seu denominador deve ser da ordem de $10^{242080}$. Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de $\gamma$ está os problemas abertos mais importantes da Matemática.

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de $\gamma$ com funções, séries e integrais.

Representação Original (Euler)

Foi descoberta em 1734, por Euler, representando $\gamma$ como uma série infinita da seguinte forma:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})]$

Relação com a Função Gama

Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -$\gamma$. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:

$-\gamma ={\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=\mathrm{\Psi }(1)$

também como o limite:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[n-\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)]$

O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:

$-\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n})\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+\frac{1}{n}}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1}]$

e como função beta:

$-\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[n^{2+\frac{1}{n}}\mathrm{B}(1+\frac{1}{n},n+1)-\frac{n^2}{n+1}]$

Relação com a Função Zeta de Riemann

$\gamma$ pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\zeta (k)}{k}=\log \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}\zeta (k+1)}{2^k(k+1)}$

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

$\gamma =\frac{3}{2}-\log 2-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{k-1}{k}[\zeta (k)-1]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2n-1}{2n}-\log n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k})]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{kn}}{(k+1)!}\sum _{t=0}^k\frac{1}{t+1}-n\log 2+𝒪\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)]$

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante $\gamma$ com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

$\gamma =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})=\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})$

Representação com Integrais

$\gamma$ é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:

$\begin{array}{cc}\gamma & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\log xdx\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log \log \left(\frac{1}{x}\right)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})e^{-x}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}(\frac{1}{1+x}-e^{-x})dx\\ \end{array}$

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante $\gamma$ estão:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\log xdx=-\frac{1}{4}(\gamma +2\log 2)\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\log }^{2}xdx={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}$

Uma expressão em que se expressa $\gamma$ como uma integral dupla, com sua série equivalente é:

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\log (xy)}dxdy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\log \frac{n+1}{n})$

Representação com Séries

Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k+1}$

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a $\gamma$:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+3(\frac{1}{8}-\dots -\frac{1}{15})+\dots$

onde [ ] é a função piso e ${\log }_2$ é o logaritmo de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

$\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}(\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{8})+\frac{1}{9}(\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{15})+\dots$

que também pode ser escrita como:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{k-\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}{k^2\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{1}{2^2}(\frac{1}{5^2}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{7^2}+\frac{4}{8^2})+\frac{1}{3^2}(\frac{1}{10^2}+\dots +\frac{6}{15^2})+\dots$

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2^n-1}dx$

Representação em forma de fração contínua

A representação de $\gamma$ em termos de fração contínua é:

$\gamma =0+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\ddots }}}}}$

mais precisamente:

$\gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]$ Predefinição:OEIS.

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100
• Predefinição:Citar periódico Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
• Predefinição:Citar livro (en inglés)
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés)
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
• ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en inglés)
• ------ (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés)
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés)
• ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés)
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.