Soma telescópica

Predefinição:Sem notas O nome soma telescópica deriva da função do telescópio, ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.

Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendo

A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.

O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório.

Em matemática, esta soma segue um dos seguintes padrões:

$\sum _{k=1}^N(F_k-F_{k+1})=F_1-F_{n+1}$

Ou

$\sum _{k=1}^N(F_{k+1}-F_k)=F_{n+1}-F_1$

Ainda, de forma similar:

$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\dots +(a_n-a_{n-1})$

Esta soma pode ser simplificada:

$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\dots +(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1$

Naturalmente qualquer seqüência de termos $b_n$ pode ser escrita como uma soma telescópica:

$b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+\dots +(b_n-b_{n-1})$

Desenvolvimento

Dada uma sequencia $F_n\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}n\in \mathbb{N}$ tem-se que $\mathrm{\Delta }{F}_k=F_{k+1}-F_k$

Dessa forma:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{F}_1& =F_2-F_1\\ \mathrm{\Delta }{F}_2& =F_3-F_2\\ \mathrm{\Delta }{F}_3& =F_4-F_3\\ & \dots \\ \mathrm{\Delta }{F}_{n-1}& =F_n-F_{n-1}\\ \mathrm{\Delta }{F}_n& =F_{n+1}-F_n\\ \end{array}$

Somando todas as equações membro a membro:

$\mathrm{\Delta }{F}_1+\mathrm{\Delta }{F}_2+\dots +\mathrm{\Delta }{F}_n=F_2-F_1+F_3-F_2+\dots +F_n-F_{n-1}+F_{n+1}-F_n$

Efetuando os devidos cancelamentos, temos:

$\mathrm{\Delta }{F}_1+\mathrm{\Delta }{F}_2+\dots +\mathrm{\Delta }{F}_n=F_{n+1}-F_1$

Portanto:

$\sum _{k=1}^N(F_{k+1}-F_k)=F_{n+1}-F_1$

Demonstração

Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia. O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.

Para limite = 3:

$\sum _{k=1}^3(F_k-F_{k+1})$

·$X_1(F_1-F_{1+1})=F_1-F_2$

·$X_2(F_2-F_{2+1})=F_2-F_3$

·$X_3(F_3-F_{3+1})=F_3-F_4$

Expressando a soma dos elementos descritos:

$\sum _{k=1}^3(F_k-F_{k+1})=X_1+X_2+X_3=F_1-F_2+F_2-F_3+F_3-F_4;$

Observe que os termos $F_2$ e $F_3$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_1$ e $F_4$ se mantem.

Significa que $F_4$ é o termo genérico $F_{k+1}$. Demonstrando a igualdade:

$\sum _{k=1}^N(F_k-F_{k+1})=F_1-F_{n+1}$

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De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:

Para limite = 5:

$\sum _{k=1}^5(F_{k+1}-F_k)$

·$X_1(F_{1+1}-F_1)=F_2-F_1$

·$X_2(F_{2+1}-F_2)=F_3-F_2$

·$X_3(F_{3+1}-F_3)=F_4-F_3$

·$X_4(F_{4+1}-F_4)=F_5-F_4$

·$X_5(F_{5+1}-F_5)=F_6-F_5$

Expressando a soma dos elementos descritos:

$\sum _{k=1}^5(F_k-F_{k+1})=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=F_2-F_1+F_3-F_2+F_4-F_3+F_5-F_4+F_6-F_5;$

Observe que os termos $F_2,F_3,F_4$ e $F_5$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_1$ e $F_6$ se mantem.

Significa que $F_6$ é o termo genérico $F_{k+1}$. Demonstrando a igualdade:

$\sum _{k=1}^N(F_{k+1}-F_k)=F_{n+1}-F_1$

Exemplos

$\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{3(4)}+\dots +\frac{1}{999(1000)}$

Observe que o denominador segue o padrão: $k(k+1):k\in \mathbb{N}$.Logo, esta soma pode ser escrita como:

$\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{3(4)}+\dots +\frac{1}{999(1000)}=\sum _{k=1}^{999}\frac{1}{k(k+1)}$

A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo $\frac{1}{k(k+1)}$ como a diferença de outros dois. Então, $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)}$

Assim:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{999}\frac{1}{k(k+1)}& =\sum _{k=1}^{999}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})-\frac{1}{k+1}\\ & =1-\frac{1}{k+1}\end{array}$

Portanto:

$\sum _{k=1}^{999}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{999+1}=\frac{999}{1000}$.

Calcule: $\sum _{n=3}^{10}{2}^n-2^{n+1}$

Desenvolvendo a soma temos: $(2^3-2^4)+(2^4-2^5)+(2^5-2^6)+\dots +(2^{10}-2^{11})$

Vemos que os termos de $2^4$ ate $2^{10}$ se cancelam e portanto o calculo pode ser resumido a:

$\sum _{n=3}^{10}{2}^n-2^{n+1}=2^3-2^{11}=-2040$

Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.

Dada a seguinte sequencia recursiva: $a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+n{a}_n}$.Calcule $a_{2012}$.

A princípio, inverte-se a equação que define $a_{n+1}$ para desmembra-la em duas frações como veremos a seguir:

$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+n{a}_n}{a_n}\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+\frac{n{a}_n}{a_n}\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+n$

Fazendo $b_n=\frac{1}{a_n}$

$b_{n+1}=b_n+n$

Desenvolvendo os termos temos:

$\begin{array}{cc}{b}_2& =b_1+1\\ b_3& =b_2+2\\ & \dots \\ b_{2011}& =b_{2010}+2010\\ b_{2012}& =b_{2011}+2011\\ \end{array}$

Isolando as variaveis tem-se:

$\begin{array}{cc}{b}_2-b_1& =1\\ b_3-b_2& =2\\ & \dots \\ b_{2011}-b_{2010}& =2010\\ b_{2012}-b_{2011}& =2011\\ \end{array}$

Somando todas as equações:

$b_2-b_1+b_3-b_2+\dots +b_{2011}-b_{2010}+b_{2012}-b_{2011}=1+2+\dots +2010+2011$

Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :

$b_{2012}-b_1=1+2+\dots +2010+2011$

Por propriedade de Progressão Aritmetica:

$b_{2012}-b_1=\frac{2012*2011}{2}$

$b_1=\frac{1}{a_1}\to b_1=1$. Por definição.

Portanto $b_{2012}=1+\frac{2012*2011}{2}$

Logo, $a_{2012}=\frac{1}{1+1006*2011}$.

Somas telescópicas e Progressão aritmética

Veremos que os termos de $\sum _{i=1}^{n+1}i$ seguem uma progressão aritmetica de razão 1.

Desenvolvendo os termos:

$\begin{array}{cc}{i}_2& =i_1+1\\ i_3& =i_2+1\\ & \dots \\ i_n& =i_{n-1}+1\\ i_{n+1}& =i_n+1\\ \end{array}$

Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.

$\begin{array}{cc}{i}_2-i_1& =1\\ i_3-i_2& =1\\ & \dots \\ i_n-i_{n-1}& =1\\ i_{n+1}-i_n& =1\\ \end{array}$

Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:

$i_2-i_1+i_3-i_2+\dots +i_n-i_{n-1}+i_{n+1}-i_n=1+1+\dots +1+1$

A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:

$i_{n+1}-i_1=1+1+\dots +1+1$

$i_{n+1}-i_1=n*1$

Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:

$i_{n+1}=n*1+i_1$

A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:

$\frac{(i_1+i_{n+1})n}{2}$

Pois se analisarmos que :

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^{n+1}i& =\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\ i_{n+1}& =n*1+i_n\\ \sum _{i=1}^{n}i& =\sum _{i=1}^{n-1}i+i_n\\ \therefore \sum _{i=1}^{n+1}i& =\sum _{i=1}^{n-1}i+i_n+n*1+i_n\\ \end{array}$

Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.

Se $a_{n+1}=\frac{2a_n+1}{2}$ para $n>=1$  e $a_1=2$.Determine $a_{101}$

$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}$

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}=$ cte. (Progressão aritmética de razão $\frac{1}{2}$)

Desenvolvendo os termos, temos:

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}-a_n& =\frac{1}{2}\\ a_n-a_{n-1}& =\frac{1}{2}\\ a_{n-1}-a_{n-2}& =\frac{1}{2}\\ & \dots \\ a_2-a_1& =\frac{1}{2}\\ \end{array}$

Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:

$a_{n+1}-a_1=n\frac{1}{2}$

Logo, a formula do termo geral será:

$a_{n+1}=a_1+n\frac{1}{2}$

Desta forma,

$\begin{array}{c}n+1=101;n=100.\\ \\ a_{101}& =a_1+n\frac{1}{2}\\ a_{101}& =2+100\frac{1}{2}\\ a_{101}& =52\\ \end{array}$

A série telescópica

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{n+1}-a_1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-a_1$

A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$

Ver também

• Somatório
• Recursão

Referencias

• https://maestrovirtuale.com/somatorio-telescopico-como-e-resolvido-e-exercicios-resolvidos/
• http://www.dm.ufrpe.br/sites/www.dm.ufrpe.br/files/tcc_hugo_leonardo_coutinho_dantas.pdf