Teorema multinomial

Em matemática, o teorema multinomial, polinômio de Leibnitz, polinômio de Leibniz ou fórmula do multinômio de Newton é uma generalização do binômio de Newton.

Teorema

$(x_1+x_2+\cdots +x_m{)}^n=\sum _{k_1,k_2,\dots ,k_m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}.$

A soma é feita sobre todas as possibilidades de índices inteiros não negativos k₁ até k_m tais que $\sum _{i=1}^m{k}_i=n$.

Os coeficientes multinomiais são definidos como:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}.$

Trinômio de Newton

A potência arbitrária de um trinômio pode ser obtida por um caso particular da fórmula do multinômio de Newton:

$(a+b+c{)}^n=\sum _{k=0}^n\sum _{p=0}^k\frac{n!}{(n-k)!(k-p)!p!}{a}^{n-k}{b}^{k-p}{c}^p$

Onde $a$, $b$ e $c$ são números reais e n é um número natural.

Exemplo

Seja $n=3$, então temos

$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

Isso pode ser calculado usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, mas também pode ser feito (talvez mais facilmente) com o teorema multinomial. É possível descobrir os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo:

$a^2{b}^0{c}^1$ tem o coeficiente $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2,0,1})=\frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}=\frac{6}{2\cdot 1\cdot 1}=3.$

$a^1{b}^1{c}^1$ tem o coeficiente $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1,1,1})=\frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{6}{1\cdot 1\cdot 1}=6.$

Ver também

• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal