Teorema do valor médio

O teorema do valor médio

Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot$

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é $v$, então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é $v$.

Demonstração

Seja

$\begin{array}{cccccc}g:& & [a,b]& & \to & ℝ\\ & & x& & \mapsto & f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\end{array}$

Então $g$ também é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$. Além disso, $g(a)=g(b)=0$. Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que $g^{\prime }(c)=0$. Mas

$\begin{array}{cc}{g}^{\prime }(c)=0& ⟺f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\ & ⟺f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \end{array}$

Funções com Valores Vetoriais

Se $f$ for uma função contínua de $[a,b]$ em R$n^{}$ que seja derivável em $(a,b)$, então já não é verdade que existe necessariamente algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot$

Considere-se, por exemplo, a função $f$ de $[0,2\pi ]$ em R$2^{}$ definida por

$f(x)=(\cos (x),\mathrm{sen}(x))$.

Então

$\frac{f(2\pi )-f(0)}{2\pi -0}=(0,0),$

mas

$(\mathrm{\forall }x\in (0,2\pi )):f^{\prime }(x)=(-\mathrm{sen}(x),\cos (x))\ne (0,0).$

No entanto, é verdade que existe sempre algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

$\frac{\Vert f(b)-f(a)\Vert }{b-a}⩽\Vert f^{\prime }(c)\Vert .$

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja $v$ ∈ R$n^{}$ um vector de norma 1 tal que

$⟨v,f(b)-f(a)⟩=\Vert f(b)-f(a)\Vert$

e seja

$\begin{array}{cccccc}g:& & [a,b]& & \to & ℝ\\ & & x& & \mapsto & ⟨v,f(x)-f(a)⟩.\end{array}$

Então $g$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, pelo que existe algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

$g^{\prime }(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}⟺⟨v,f^{\prime }(c)⟩=⟨v,\frac{f(b)-f(a)}{b-a}⟩=\frac{\Vert f(b)-f(a)\Vert }{b-a},$

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

$\frac{\Vert f(b)-f(a)\Vert }{b-a}=|⟨v,f^{\prime }(c)⟩|⩽\Vert v\Vert .\Vert f^{\prime }(c)\Vert =\Vert f^{\prime }(c)\Vert .$

Generalização: Teorema de Cauchy

Significado geométrico do teorema de Cauchy.

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que

$(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime }(c).$

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

$f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)\iff \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c).$

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

$h(x)=(f(b)-f(a))(g(x))-(g(b)-g(a))(f(x)).$

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(c)=0& \iff (f(b)-f(a))g^{\prime }(c)-(g(b)-g(a))f^{\prime }(c)=0\\ & \iff (f(b)-f(a))g^{\prime }(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime }(c).\end{array}$

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva

$\begin{array}{cccc}[a,b]& & \to & {ℝ}^2\\ x& & \mapsto & (f(x),g(x)),\end{array}$

então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.

Ver também

• Teorema da velocidade média
• Teorema de Rolle