Integração por partes

Predefinição:Cálculo No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[f(x)g(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x$

onde $f(x)$ e $g(x)$ são funções de classe C¹ no intervalo $x\in [a,b]$, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

onde $u=f(x)$, $dv=g^{\prime }(x)dx$, $v=g(x)$ e $du=f^{\prime }(x)dx$.

Exemplos

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

• $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x$ + C

onde escolheu-se $u(x)=x$ e $dv=e^{x}dx$.

• $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\ln (x)dx={[\frac{x^2}{2}\ln (x)]}_1^2-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$

escolhendo $u=\ln (x)$ e $dv=xdx$.

Demonstração

Pela regra do produto, temos que:

$\frac{d}{dx}[u(x)*v(x)]=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

$u(x)*v(x)=\int u^{\prime }(x)*v(x)dx+\int u(x)*v^{\prime }(x)dx$

Abrindo o u'(x) e v'(x):

$u(x)*v(x)=\int v(x)\frac{du}{dx}dx+\int u(x)*\frac{dv}{dx}dx$

Simplificando as integrais, ficamos com:

$u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv$

Conclui-se que:

$u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv$

Ver também

• Identidades de green
• Métodos de integração
• Somatório por partes
• Tabela de integrais

Bibliografia

• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2^aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3^aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.