Função suave

Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável

Seja $f:D\to ℝ$ um função com domínio $D\subseteq ℝ$, então:

• $f$ é dita ser de classe $C^0(D,ℝ)$ se for uma função contínua.
• $f$ é dita ser de classe $C^1(D,ℝ)$ se sua primeira derivada for uma função contínua.
• $f$ é dita ser de classe $C^n(D,ℝ)$ se sua n-ésima derivada for uma função contínua.
• $f$ é dita ser suave ou de classe $C^{\mathrm{\infty }}(D,ℝ)$ se for de classe $C^n(D,ℝ)$ para todo $n$
• $f$ é dita ser analítica ou de classe $C^{\omega }(D,ℝ)$ se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveis

Seja $f:D\to {ℝ}^m$ um função com domínio $D\subseteq {ℝ}^n$

• $f$ é dita ser de classe $C^0(D,{ℝ}^n)$ se for uma função contínua.
• $f$ é dita ser de classe $C^n(D,{ℝ}^n)$ se todas as suas derivadas parciais de ordem até $n$ forem funções contínuas.
• $f$ é dita ser suave ou de classe $C^{\mathrm{\infty }}(D,{ℝ}^n)$ se for de classe $C^n(D,{ℝ}^n)$ para todo $n$

Exemplos

A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.

A função f(x)=x² sin(1/x) para x>0.

Um função suave não analítica.

A função

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }x\ge 0,\\ 0& \text{se }x<0\end{array}$

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe $C^0$ mas não de classe $C^1$.

A função

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin 1/x& \text{se }x\ne 0,\\ 0& \text{se }x=0\end{array}$

é diferenciável, com derivada

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}2x\sin 1/x-\cos 1/x& \text{se }x\ne 0,\\ 0& \text{se }x=0.\end{array}$

Como o limite de $\cos (1/x)$ não existe quando $x$ se aproxima de zero, $f^{\prime }(x)$ não é contínua na origem. Portanto, a função $f$ é diferenciável mas não é de classe C¹.

A função

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/(1-x^2)}& \text{ se }|x|<1,\\ 0& \text{ caso contrario }\end{array}$

é suave, e portanto de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, mas não é analítica, portanto não é de classe $C^{\omega }$. Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe $C^{\omega }$.

Ver também

• Difeomorfismo
• Concordância (tangência)