Pi

Predefinição:Ver desambig Predefinição:Caixa Pi O número Predefinição:Pi (Predefinição:AFI-pt) é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. Ele aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, embora frações como Predefinição:Math são comumente utilizadas para aproximar o seu valor. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete infinitamente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação algébrica que envolva apenas uma quantidade finita de somas, produtos, potências e coeficientes inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de Predefinição:Pi são aparentemente distribuídos aleatoriamente,Predefinição:TagNota mas nenhuma prova para essa conjectura foi encontrada.

Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre Predefinição:Pi, às vezes computando o seu valor a um alto nível de precisão. Civilizações antigas, incluindo os egípcios e os babilônicos, exigiam aproximações bastante precisas de Predefinição:Pi para cálculos práticos. Em aproximadamente 250 a.C., o matemático grego Arquimedes criou um algoritmo para aproximar Predefinição:Pi com precisão arbitrária. No século V d.C., matemáticos chineses aproximaram Predefinição:Pi a sete dígitos, enquanto os matemáticos indianos fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseado numa série infinita, foi descoberta um milênio depois.Predefinição:Sfn^[1] O primeiro uso da letra π para representar a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência foi o matemático galês William Jones em 1706.^[2]

A invenção do cálculo logo levou à computação de centenas de dígitos de Predefinição:Pi, o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de Predefinição:Pi para muitos trilhões de dígitos.^[3]^[4] Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes.Predefinição:Sfn^[5] Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar supercomputadores, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.

Por estar relacionado à circunferência, Predefinição:Pi é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como teoria dos números e estatística e, na análise matemática moderna, pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de Predefinição:Pi faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a Predefinição:Pi foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de Predefinição:Pi frequentemente resultam em manchetes de notícias.

Fundamentos

Nome

O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a [[Π|letra grega Predefinição:Pi]] minúscula, às vezes escrito como pi.^[6] Em português, Predefinição:Pi é pronunciado como Predefinição:AFI-pt.Predefinição:Ref infopedia dic Em usos matemáticos, a letra Predefinição:Pi minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula Predefinição:Math, utilizado para denotar o produtório, análogo a como Predefinição:Math é utilizado para denotar o somatório.^[7]^[8]

A escolha do símbolo Predefinição:Pi é discutida na seção [[#Adoção do símbolo π|§ Adoção do símbolo Predefinição:Pi]].

Definição

Predefinição:Pi é comumente definido como a razão do comprimento Predefinição:Mvar de uma circunferência pelo seu diâmetro Predefinição:Mvar:Predefinição:Sfn $π = \frac{C}{d}$

A razão $\frac{C}{d}$ é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de Predefinição:Pi implica o uso de geometria (euclidiana) plana; por mais que a noção de circunferência pode ser estendida para qualquer geometria (não euclidiana) curva, esses não satisfazem a fórmula $π = \frac{C}{d}$ .Predefinição:Sfn

Aqui, o comprimento de uma circunferência é o comprimento do arco ao redor do perímetro da circunferência. Esta quantidade pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando limites — um conceito do cálculo.^[9] Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação Predefinição:Math, como a integral:Predefinição:Sfn $π = \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$

Uma expressão como essa foi adotada como a definição para Predefinição:Pi por Karl Weierstrass, que a definiu diretamente de uma integral em 1841.Predefinição:TagNota

Integração não é usualmente utilizada para a primeira definição analítica, porque, conforme Remmert explica, cálculo diferencial precede tipicamente o cálculo integral nos currículos das universidades, então é desejado uma definição para Predefinição:Pi que não necessite utilizar integrais.Predefinição:Sfn Uma dessas definições, de Richard Baltzer^[10] e popularizado por Edmund Landau,^[11] é a seguinte: Predefinição:Pi é o dobro do menor número positivo no qual seu cosseno é igual a 0.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn^[12] Predefinição:Pi também é o menor número positivo no qual o seno é igual a zero, bem como a diferença entre duas raízes consecutivas das funções seno e cosseno. O cosseno e o seno podem ser definidos independentemente da geometria, como uma série de potências^[13] ou a solução de uma equação diferencial.^[12]

Semelhantemente, Predefinição:Pi pode ser definido utilizando as propriedades da função exponencial complexa Predefinição:Math, de uma variável complexa Predefinição:Mvar. Como o cosseno, a função exponencial complexa pode ser definida de diversas maneiras diferentes. O conjunto de números complexos no qual Predefinição:Math é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma: ${\dots, - 2 π i, 0, 2 π i, 4 π i, \dots} = {2 π k i ∣ k \in ℤ}$ e há um único número real positivo Predefinição:Pi com essa propriedade.Predefinição:Sfn^[14]

Uma variação da mesma ideia, utilizando conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema:^[15] há um único isomorfismo contínuo (salvo por automorfismo) do grupo Predefinição:Math de números reais sob a adição módulo inteiro (o grupo circular), no grupo multiplicativo de números complexos de módulo um. O número Predefinição:Pi é definido como metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.^[16]

Irracionalidade e normalidade

Predefinição:Pi é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Frações como Predefinição:Math e Predefinição:Math são usualmente utilizadas para aproximar Predefinição:Pi, mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor.Predefinição:Sfn Visto que Predefinição:Pi é irracional, ele possui um número infinito de dígitos em sua representação decimal, e não é uma dízima periódica. Há diversas [[Prova da irracionalidade de π|provas da irracionalidade de Predefinição:Pi]]; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de redução ao absurdo. O grau no qual Predefinição:Pi pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de Predefinição:Mvar ou Predefinição:Math, mas menor que a medida dos números de Liouville.^[17]

Os dígitos de Predefinição:Pi não aparentam possuir nenhum tipo de padrão, passando em testes de aleatoriedade estatística, incluindo o teste de normalidade; um número de comprimento infinito é dito normal quando em todas as sequências de dígitos (de comprimento qualquer) aparecem com a mesma frequência. A conjectura de que Predefinição:Pi seja normal não foi provada nem refutada.Predefinição:Sfn

Desde a chegada dos computadores, inúmeros dígitos estiveram disponíveis para realizar análise estatística. Yasumasa Kanada realizou uma análise estatística detalhada nos dígitos decimais de Predefinição:Pi, encontrando consistência na normalidade; por exemplo, a frequência dos dígitos de 0 a 9 foram submetidos a testes de significância estatística, e nenhum padrão foi encontrado.Predefinição:Sfn Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências de comprimento arbitrário que parecem não aleatórios, pelo teorema do macaco infinito. Portanto, porque a sequência de dígitos de Predefinição:Pi passa em testes estatísticos de aleatoriedade, ele contém algumas sequências de dígitos que aparentam não ser aleatórias, como a sequência de seis noves consecutivos que começa na 762.ª casa decimal da representação decimal de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn Isto também é conhecido como o "ponto de Feynman" no "folclore matemático", em homenagem a Richard Feynman, porém não há nenhuma ligação conhecida com Feynman.^[18]

Transcendência

Predefinição:VT

Em adição de ser irracional, Predefinição:Pi também é um número transcendente, o que significa que não é a solução de nenhuma equação polinomial não constante com coeficientes racionais, como $\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x = 0$ .Predefinição:Sfn Predefinição:TagNota

A transcendência de Predefinição:Pi tem duas importantes consequências: a primeira é que Predefinição:Pi não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou [[Radiciação|raízes Predefinição:Mvar-ésimas]] (como $\sqrt[3]{31}$ ou $\sqrt{10}$ ). A segunda é que, como não é possível Predefinição:Ill números transcendentes com régua e compasso, a quadratura do círculo é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo.Predefinição:Sfn A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da Antiguidade Clássica.Predefinição:Sfn Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.^[19]^[20]

Frações contínuas

Como é irracional, Predefinição:Pi não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo Predefinição:Pi, pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de fração contínua: $π = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \frac{1}{292 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{}{}}}}}}}$

Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para Predefinição:Pi; as quatro primeiro são Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, e Predefinição:Math. Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de Predefinição:Pi; ou seja, cada fração é mais próxima de Predefinição:Pi que uma de denominador igual ou menor.Predefinição:Sfn Visto que Predefinição:Pi é transcendente, por definição não é algébrico e não pode ser um irracional quadrático. Portanto, não há uma fração contínua periódica para Predefinição:Pi. Por mais que frações contínuas simples (com apenas 1 nos numeradores, mostrada acima) não demonstram nenhum padrão óbvio,Predefinição:Sfn^[21] diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo:^[22] $\begin{matrix} π & = 3 + \frac{1^{2}}{6 + \frac{3^{2}}{6 + \frac{5^{2}}{6 + \frac{7^{2}}{6 + ⋱}}}} = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{2 + \frac{3^{2}}{2 + \frac{5^{2}}{2 + ⋱}}}} = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{3 + \frac{2^{2}}{5 + \frac{3^{2}}{7 + ⋱}}}} \end{matrix}$

A fração do meio dessas se deve ao matemático de meados do século XVII William Brouncker, veja Predefinição:Slink.

Valores aproximados e dígitos

Algumas [[Aproximações de π|aproximações de Predefinição:Pi]] incluem:

Inteiros: 3
Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, e Predefinição:Sfrac.Predefinição:Sfn (Lista são termos selecionados de Predefinição:OEIS2C e Predefinição:OEIS2C.)
Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são Predefinição:Gaps Predefinição:Sfn (ver Predefinição:OEIS2C)

Dígitos noutras bases

Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)
Os primeiros 36 dígitos em ternário (base 3) são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)
Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são Predefinição:Gaps Predefinição:Sfn (ver Predefinição:OEIS2C)
Os primeiros 5 dígitos em sexagesimal (base 60) são 3;8,29,44,0,47^[23] (ver Predefinição:OEIS2C)

Números complexos e identidade de Euler

Qualquer número complexo Predefinição:Mvar pode ser expresso utilizando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número (raio ou Predefinição:Mvar) é utilizado para representar a distância de Predefinição:Mvar da origem do plano complexo, e o outro (ângulo ou Predefinição:Mvar) é a rotação do eixo dos positivos reais:Predefinição:Sfn $z = r \cdot (\cos φ + i sen φ),$ onde Predefinição:Mvar é a unidade imaginária que satisfaz Predefinição:Math. A frequente aparição de Predefinição:Pi na análise complexa pode ser relacionada ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler $e^{i φ} = \cos φ + i \sin φ,$ onde [[e (constante matemática)|Predefinição:Mvar]] é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de Predefinição:Mvar e pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. Quando Predefinição:Math, o resultado é a identidade de Euler, considerado uma beleza da matemática por mostrar uma profunda conexão entre cinco importantes constantes matemáticas:Predefinição:Sfn^[24] $e^{i π} + 1 = 0 .$

Para cada natural Predefinição:Mvar, existem Predefinição:Mvar diferentes números complexos Predefinição:Mvar que satisfaçam Predefinição:Math, sendo chamadas de [[Raiz da unidade|raízes Predefinição:Mvar-ésimas da unidade]],Predefinição:Sfn dadas pela fórmula: $e^{2 π i k / n} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1) .$

História

Predefinição:AP Predefinição:VT

Antiguidade

As aproximações mais conhecidas de Predefinição:Pi datadas do primeiro milênio a.C. tinha uma precisão de duas casas decimais; isto foi aperfeiçoado pelos matemáticos chineses, em particular na metade do primeiro milênio, a com precisão de sete casas decimais. Após isso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval.

As primeiras aproximações de Predefinição:Pi foram encontradas na Babilônia e Egito, ambas com um porcento de diferença do valor verdadeiro. Na Babilônia, uma Tábua de argila datada de 1900–1600 a.C. tem uma afirmação geométrica que, por implicação, trata Predefinição:Pi como Predefinição:Math.Predefinição:Sfn No Egito, o Papiro de Rhind, datado de aproximadamente 1650 a.C., mas copiada de um documento datado de 1850 a.C., tinha uma fórmula para a área do círculo que considerava Predefinição:Pi como ${(\frac{16}{9})}^{2} \approx 3, 16$ .^[21]Predefinição:Sfn Alguns piramidologistas teorizaram que a Grande Pirâmide de Gizé possui proporções relacionadas com Predefinição:Pi, mas essa teoria não é amplamente aceita pelos estudiosos.^[25] Nos Shulba Sutras dos matemáticos indianos, datando uma tradição oral do primeiro ou segundo milênio a.C., são fornecidas aproximações interpretadas de várias maneiras como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.^[26]

Era da aproximação por polígonos

O primeiro registro de um algoritmo para calcular rigorosamente o valor de Predefinição:Pi foi uma abordagem geométrica usando polígonos, desenvolvido por volta de 250 a.C. pelo matemático grego Arquimedes, implementando o método da exaustão.Predefinição:Sfn Este algoritmo poligonal dominou por mais de mil anos, e, como resultado, Predefinição:Pi às vezes é referido como a constante de Arquimedes.Predefinição:Sfn Arquimedes computou as cotas superior e inferior de Predefinição:Pi ao desenhar um hexágono dentro e fora de uma circunferência, e dobrando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros desses polígonos, ele provou que Predefinição:Math (isto é, Predefinição:Math).^[27] A cota superior de Arquimedes de Predefinição:Math pode ter causado a crença popular generalizada de que Predefinição:Pi é igual a Predefinição:Math.Predefinição:Sfn Por volta de 150 d.C., o cientista greco-romano Ptolomeu, em Almagesto, deu o valor de 3,1416 a Predefinição:Pi, que ele pode ter obtido de Arquimedes ou de Apolônio de Perga.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn Matemáticos alcançaram 39 dígitos de Predefinição:Pi usando algoritmos poligonais em 1630, um recorde foi batido em 1699, quando foi utilizado uma série infinita para alcançar 71 dígitos de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn

Na China antiga, valores para Predefinição:Pi incluíam 3,1547 (em torno de 1 d.C.), $\sqrt{10}$ (100 d.C., aproximadamente 3,1623), e Predefinição:Math (século III, aproximadamente 3,1556).Predefinição:Sfn Por volta de 265 d.C., o matemático Liu Hui do Reino de Wei criou um algoritmo iterativo baseado em polígono e usou-o com um polígono de 3 072 lados para obter o valor de 3,1416 para Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn Posteriormente Liu inventou um método mais rápido para calcular Predefinição:Pi e obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenças de área de polígonos sucessivos formam uma série geométrica com fator 4.Predefinição:Sfn O matemático chinês Zu Chongzhi, por volta de 480 d.C, calculou que $3, 1415926 < π < 3, 1415927$ e sugeriu as aproximações $π \approx \frac{355}{113} = 3, 14159292035 . . .$ e $π \approx \frac{22}{7} = 3, 142857142857 . . .$ , os quais ele denominou Milü ("razão próxima") e Yuelü ("razão aproximada"), respectivamente, usando o algoritmo de Liu Hui aplicando num polígono de 12 288 lados. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, esse valor permaneceu como a aproximação mais precisa de Predefinição:Pi disponível pelos próximos 800 anos.Predefinição:Sfn

O astrônomo indiano Ariabata usou um valor de 3,1416 em Aryabhatiya (499 d.C.).Predefinição:Sfn Fibonacci em Predefinição:Circa computou 3,1418 usando um método poligonal, de forma independente de Arquimedes.Predefinição:Sfn O autor italiano Dante empregou aparentemente o valor de $3 + \frac{\sqrt{2}}{10} \approx 3, 14142$ .Predefinição:Sfn

O astrônomo persa Alcaxi produziu nove dígitos sexagesimais, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424, usando um polígono com Predefinição:Nowrap lados,^[28]^[29] que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos.Predefinição:Sfn O matemático francês François Viète em 1579 chegou a 9 dígitos com um polígono de Predefinição:Nowrap lados.Predefinição:Sfn O matemático flandres Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593.Predefinição:Sfn Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen atingiu 20 dígitos, um recorde que mais tarde aumentou para 35 dígitos (como resultado, Predefinição:Pi foi chamado de "número de Ludolph" na Alemanha até o início do século XX).Predefinição:Sfn O cientista holandês Willebrord Snellius atingiu 34 dígitos em 1621,Predefinição:Sfn e o astrônomo Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos usando 10⁴⁰ lados.^[30] Christiaan Huygens conseguiu chegar a 10 casas decimais em 1654 usando um método ligeiramente diferente equivalente à Predefinição:Ill.^[31]^[32]

Séries infinitas

O cálculo de Predefinição:Pi foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. Séries infinitas possibilitou que matemáticos computassem Predefinição:Pi com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que utilizaram técnicas geométricas.Predefinição:Sfn Apesar de séries infinitas terem sido mais exploradas para Predefinição:Pi por matemáticos europeus, como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem também apareceu na escola de Querala em algum momento do século XIV ou XV.^[33]Predefinição:Sfn Em torno de 1500 d.C., uma descrição escrita de uma série infinita que poderia ser utilizada para computar Predefinição:Pi foi deixada em verso sânscrito em Tantrasamgraha por Nilakantha Somayaji.^[33] As séries foram apresentadas sem provas, mas elas foram apresentadas numa obra posterior, Yuktibhāṣā, em torno de 1530 d.C. Diversas séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno (que Nilakantha atribui a Madhava de Sangamagrama), cosseno e arco tangente. Madhava usou uma série infinita para estimar 11 dígitos de Predefinição:Pi por volta de 1400.^[34]

Em 1593, François Viète publicou o que é conhecido agora como a fórmula de Viète, um Predefinição:Ill (em vez de uma soma infinita, que é mais comumente utilizada para calcular Predefinição:Pi):Predefinição:Sfn^[35]^[36] $\frac{2}{π} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \dots$

Em 1655, John Wallis publicou o que é conhecido agora como o produto de Wallis, também um produto infinito:Predefinição:Sfn $\frac{π}{2} = (\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}) \cdot (\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}) \dots$

Um retrato formal de um homem de cabelos compridos. — Isaac Newton usou séries infinitas para computar 15 dígitos de Predefinição:Pi, escrevendo posteriormente "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos".^[37]

Na década de 1660, o cientista inglês Isaac Newton e o matemático Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram o cálculo, que levou o desenvolvimento de diversas séries infinitas para aproximar Predefinição:Pi. O próprio Newton usou uma série de arco seno para computar uma aproximação de 15 dígitos de Predefinição:Pi em 1665 ou 1666, escrevendo "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos, não tendo nada para fazer no momento."^[37]

Em 1671, James Gregory e, de forma independente, Leibniz em 1673, descobriram a expansão das séries de Taylor para arco tangente:^[33]^[38]Predefinição:Sfn $arctg z = z - \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} - \frac{z^{7}}{7} + \dots$

Esta série, às vezes chamada de série de Gregory–Leibniz, igual a Predefinição:Math quando avaliada com Predefinição:Math.Predefinição:Sfn No entanto, ela converge de forma inconvenientemente lenta (isto é, se aproxima da resposta bem gradualmente), levando aproximadamente dez vezes mais termos para calcular cada dígito adicional.^[39]

Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série de Gregory–Leibniz para $z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ para computar 71 dígitos de Predefinição:Pi, quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi estabelecido com um algoritmo poligonal.Predefinição:Sfn

Em 1706 John Machin usou a série de Gregory–Leibniz para gerar um algoritmo que converge muito mais rapidamente:^[2]^[40]Predefinição:Sfn $\frac{π}{4} = 4 arctg \frac{1}{5} - arctg \frac{1}{239} .$

Machin alcançou 100 dígitos de Predefinição:Pi com esta fórmula.Predefinição:Sfn Outros matemáticos criaram derivações da fórmula de Machin, que foram utilizadas para estabelecerem diversos recordes sucessivos para calcular dígitos de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn^[41]

Isaac Newton alcançou a convergência da série de Gregory–Leibniz em 1684 (numa obra não publicada; outras pessoas descobriram o resultado de forma independente):^[42] $arctg x = \frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{2}{3} \frac{x^{3}}{(1 + x^{2})^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} \frac{x^{5}}{(1 + x^{2})^{3}} + \dots$

Leonhard Euler popularizou esta série em seu livro de cálculo diferencial de 1755, e posteriormente usou com uma derivação da fórmula de Machin, incluindo $\frac{π}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} + 2 \arctan \frac{3}{79}$ , o que lhe permitiu calcular 20 dígitos de Predefinição:Pi em uma hora.^[43]

As derivações da fórmula de Machin mantiveram como o método conhecido para calcular Predefinição:Pi até a era dos computadores, sendo utilizadas para registrar novos recordes por 250 anos, alcançando até uma aproximação de 620 dígitos em 1946 por Daniel Ferguson — a melhor aproximação atingida sem o auxílio de um dispositivo de cálculo.Predefinição:Sfn

Em 1853, o matemático britânico William Shanks calculou 607 dígitos de Predefinição:Pi, mas cometeu um erro na 528.ª casa decimal, fazendo que todos os dígitos subsequentes fossem calculados incorretamente. Apesar disso, em 1873 ele continuou calculando mais 100 dígitos, totalizando 707 dígitos, mas devido ao erro, estes dígitos também estavam incorretos.^[44]

Razão de convergência

Algumas séries infinitas para Predefinição:Pi convergem mais rápido que outras. Dado à escolha entre duas séries infinitas para Predefinição:Pi, os matemáticos geralmente escolherão aquela que converge mais rapidamente, visto que uma convergência mais rápida reduz a quantidade de cálculos necessários para calcular Predefinição:Pi para uma dada precisão.^[45]Predefinição:Sfn Um exemplo de série infinita simples para calcular Predefinição:Pi é a série de Gregory–Leibniz:Predefinição:Sfn $π = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \dots$

Como os termos desta série infinita são adicionados à soma, o total vai gradualmente se aproximando a Predefinição:Pi, e — com uma quantidade suficiente de números de termos — pode chegar tão perto de Predefinição:Pi quanto desejado. No entanto, ela converge lentamente — após 500 mil termos, ela produz apenas cinco dígitos decimais de Predefinição:Pi corretos.^[46]

Uma série (publicada por Nilakantha no século XV) que converge mais rápido do que a série de Gregory–Leibniz é:Predefinição:Sfn^[47] $π = 3 + \frac{4}{2 \times 3 \times 4} - \frac{4}{4 \times 5 \times 6} + \frac{4}{6 \times 7 \times 8} - \frac{4}{8 \times 9 \times 10} + \dots$

A seguinte tabela compara as taxas de convergência dessas duas séries:

Séries infinitas para Predefinição:Pi	Após 1.º termo	Após 2.º termo	Após 3.º termo	Após 4.º termo	Após 5.º termo	Converge para:
$π = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} + \dots$	4,0000	2,6666 ...	3,4666 ...	2,8952 ...	3,3396 ...	Predefinição:Pi = 3,1415 ...
$π = 3 + \frac{4}{2 \times 3 \times 4} - \frac{4}{4 \times 5 \times 6} + \frac{4}{6 \times 7 \times 8} - \dots$	3,0000	3,1666 ...	3,1333 ...	3,1452 ...	3,1396 ...	Predefinição:Pi = 3,1415 ...

Após cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de Predefinição:Pi, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de Predefinição:Pi. Séries que convergem ainda mais rapidamente incluem a série de Machin e a série de Chudnovsky, sendo que a segunda produz 14 dígitos decimais por termo.^[45]Predefinição:Sfn

Irracionalidade e transcendência

Predefinição:VT Nem todos os avanços relacionados a Predefinição:Pi tinham como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basileia em 1735, encontrando o valor exato da soma dos inversos dos quadrados, estabeleceu uma conexão entre Predefinição:Pi e os números primos que posteriormente contribuiu para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann:Predefinição:Sfn $\frac{π^{2}}{6} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots$

O cientista suíço Johann Heinrich Lambert provou em 1768 que Predefinição:Pi é irracional, o que significa que não é igual a nenhuma razão entre dois inteiros. A prova de Lambert explorou uma representação em fração contínua da função tangente.^[48] O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que Predefinição:Math também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que Predefinição:Pi é transcendente,^[49] confirmando a conjectura feita por Legendre e Euler.Predefinição:Sfn^[50] Posteriormente, Hilbert, Hurwitz e outros autores modificaram e simplificaram as provas.^[50]

Adoção do símbolo Predefinição:Pi

Predefinição:Imagem múltipla

O primeiro registro do uso do símbolo Predefinição:Pi na geometria da circunferência é em Clavis Mathematicae (1648) de Oughtred,^[51]Predefinição:Sfn em que as letras gregas Predefinição:Pi e Predefinição:Mvar eram combinadas na fração Predefinição:Tmath para denotar as razões entre semiperímetro e semidiâmetro e entre perímetro e diâmetro, ou seja, o que atualmente é denotado como Predefinição:Pi.^[6]^[52]^[53]^[54] (Até então, matemáticos utilizavam às vezes letras como Predefinição:Mvar ou Predefinição:Mvar.Predefinição:Sfn) Semelhantemente, Barrow utilizou a mesma notação,^[55] enquanto Gregory utilizou Predefinição:Nowrap para representar Predefinição:Math^[53]^[56]

O primeiro uso da letra grega Predefinição:Pi sozinha para representar a razão do comprimento de uma circunferência ao seu diâmetro foi pelo matemático galês William Jones em sua obra de 1706 Predefinição:Lang.^[2]Predefinição:Sfn A letra grega aparece na frase Predefinição:Nowrap na página 243, calculado para uma circunferência de raio um. No entanto, Jones escreve que suas equações para Predefinição:Pi são "do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones.Predefinição:Sfn A notação de Jones não foi imediatamente adotada pelos outros matemáticos, com a fração ainda sendo utilizada até 1767.^[52]^[57]

Euler começou a usar uma única letra para a constante a partir do ensaio de 1727 Predefinição:Lang, apesar de utilizar Predefinição:Math, a razão do perímetro pelo raio, neste e em algumas escritas posteriores.^[58]^[59] Euler usou Predefinição:Math pela primeira vez em sua obra de 1736 Predefinição:Lang,^[60], e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 Predefinição:Lang (ele escreveu: "por uma questão de brevidade, escreveremos esse número como Predefinição:Pi; assim, Predefinição:Pi é igual à metade do comprimento de uma circunferência de raio Predefinição:Math").^[61] Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada posteriormente no mundo ocidental,Predefinição:Sfn embora a definição ainda variasse entre Predefinição:Math e Predefinição:Math até 1761.^[62]

Busca moderna por mais dígitos

Era da computação e algoritmos iterativos

Predefinição:Caixa de citação O desenvolvimento de computadores na metade do século XX revolucionou novamente a busca por dígitos de Predefinição:Pi. Os matemáticos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1 120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa.Predefinição:Sfn Usando uma série infinita de arco tangente (arctg), uma equipe liderada por George Reitwiesner e John von Neumann atingiram 2 037 dígitos no mesmo ano com um cálculo que levou 70 horas de tempo de computação no computador ENIAC.Predefinição:Sfn^[63] O recorde, sempre baseado em uma série de arco tangente, foi quebrado repetidamente (3 089 dígitos em 1955,^[64] 7 480 dígitos em 1957; 10 mil dígitos em 1958; 100 mil dígitos em 1961) até que um milhão de dígitos fossem atingidos em 1973.Predefinição:Sfn

Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez aceleraram a habilidade de computar Predefinição:Pi. A primeira foi a descoberta de novos métodos iterativos para computar Predefinição:Pi, que eram muito mais rápidos que séries infinitas; a segunda é a invenção de algoritmos de multiplicação rápidos que poderiam rapidamente calcular grandes números.Predefinição:Sfn Tais algoritmos são particularmente importantes nas computações modernas de Predefinição:Pi, pois a maioria do tempo dos computadores são voltados à multiplicação.Predefinição:Sfn Esses algoritmos incluem o de Karatsuba, multiplicação de Toom–Cook, e métodos baseados na transformada rápida de Fourier.Predefinição:Sfn

Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975–1976 pelo físico Eugene Salamin e o cientista Richard Brent.Predefinição:Sfn Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como entradas, e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. Esta abordagem foi na realidade inventada mais de 160 anos antes, por Carl Friedrich Gauss, no qual agora é denominado o método da média aritmética-geométrica ou algoritmo de Gauss-Legendre.Predefinição:Sfn Conforme foi modificado por Salamin e Brent, também é conhecido como algoritmo Brent-Salamin.

Após 1980 os algoritmos iterativos foram amplamente utilizados, porque eram mais rápidos que os algoritmos por séries infinitas: enquanto uma série infinita tipicamente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent–Salamin dobra o número de dígitos a cada iteração. Em 1984, os irmãos John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplicava o número de dígitos a cada passo; e em 1987 um que aumentava o número de dígitos cinco vezes em cada passo.^[65] Métodos iterativos foram utilizados pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para registrar diversos recordes de dígitos de Predefinição:Pi computados entre 1995 e 2002.^[66] A rápida convergência vem com um preço a ser pago: os algoritmos iterativos requerem significantemente mais memória que séries infinitas.^[66]

Motivos para computar Predefinição:Pi

Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo Predefinição:Pi, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do universo observável com a precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar erro de arredondamento computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de Predefinição:Pi seriam suficientes para qualquer aplicação científica.Predefinição:Sfn Embora o especialista da NASA Marc Rayman esclareça que, para as aplicações nos cálculos aeroespaciais da agência norte-americana, sejam usados 15 dígitos nas casas decimais, o que dá uma precisão estimada na circunferência atingida pela sonda Voyager I (48 bilhões de quilômetros arredondados, em 2022) com margem de erro na largura de um dedo mínimo.^[67] Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos. Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes e tais conquistas com Predefinição:Pi costumam ser manchetes em todo o mundo.^[68]^[69] Também há benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn

Séries de rápida convergência

Calculadoras modernas de Predefinição:Pi não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que eram tão rápidas quanto algoritmos iterativos, porém mais simples e utilizando menos memória.^[66] Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivāsa Rāmānujan publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para Predefinição:Pi, notável pela sua elegância, profundidade matemática e rápida convergência.Predefinição:Sfn Uma de suas fórmulas, baseada nas equações modulares, é $\frac{1}{π} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4 k)! (1103 + 26390 k)}{k!^{4} (39 6^{4 k})} .$

Essa série converge muito mais rápido que a maioria das séries de arco tangente, incluindo a fórmula de Machin.Predefinição:Sfn Bill Gosper foi o primeiro a usá-la para avançar no cálculo de Predefinição:Pi, conseguindo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985.Predefinição:Sfn A fórmula de Ramanujan antecipou os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein (Jonathan e Peter) e os Predefinição:Ill.Predefinição:Sfn A fórmula de Chudnovsky desenvolvida em 1987 é $\frac{1}{π} = \frac{\sqrt{10005}}{4270934400} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(6 k)! (13591409 + 545140134 k)}{(3 k)! k!^{3} (- 640320)^{3 k}} .$

Ela produz aproximadamente 14 dígitos de Predefinição:Pi por termoPredefinição:Sfn e tem sido usada para estabelecer diversos recordes de cálculo de Predefinição:Pi, incluindo o primeiro a bater um bilhão (10⁹) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10 trilhões (10¹³) de dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo,^[70] e 100 trilhões de dígitos por Emma Haruka Iwao em 2022.^[71] Para fórmulas similares, veja séries de Ramanujan–Sato.

Em 2006, o matemático Simon Plouffe usou o algoritmo PSLQ de relação de inteirosPredefinição:TagNota para gerar diversas novas fórmulas para Predefinição:Pi, conforme a seguinte predefinição: $π^{k} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} (\frac{a}{q^{n} - 1} + \frac{b}{q^{2 n} - 1} + \frac{c}{q^{4 n} - 1}),$

onde Predefinição:Mvar é [[constante de Gelfond|Predefinição:Mvar]] (constante de Gelfond), Predefinição:Mvar é um número ímpar e Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar são certos números racionais que Plouffle computou.^[72]

Métodos de Monte Carlo

Predefinição:Imagem múltipla Métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de vários ensaios aleatórios, podem ser utilizados para criar uma aproximação de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn A Agulha de Buffon é uma dessas técnicas: se uma agulha de comprimento Predefinição:Mvar é largada Predefinição:Mvar vezes numa superfície na qual possui retas paralelas desenhadas separadas por Predefinição:Mvar unidades de comprimento, e se Predefinição:Mvar é a quantidade de vezes que a agulha fica sobre a retas (Predefinição:Math), então pode-se aproximar Predefinição:Pi com base nas contagens:^[73] $π \approx \frac{2 n ℓ}{x t} .$

Outro método de Monte Carlo para calcular Predefinição:Pi é desenhar uma circunferência inscrita num quadrado, e aleatoriamente colocar pontos no quadrado. A razão de pontos na região interna da circunferência é aproximadamente igual a Predefinição:Math.Predefinição:Sfnm

Utilizando probabilidade, também é possível calcular Predefinição:Pi começando com um passeio aleatório, gerado por uma sequência de cara ou coroa (justo): variáveis aleatórias independente Predefinição:Math tais que Predefinição:Math com mesmas probabilidades. O passeio aleatório associado é $W_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ tal que, para cada Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar é extraído de uma distribuição binomial deslocada e escalonada. Conforme Predefinição:Mvar varia, Predefinição:Mvar define um processo estocástico (discreto). Então Predefinição:Pi pode ser calculado por^[74] $π = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{E [| W_{n} |]^{2}} .$

Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com circunferências, a sendo uma consequência do teorema central do limite, discutido em Predefinição:Slink.

Estes métodos de Monte Carlo para aproximar Predefinição:Pi são bastante lentos comparado aos outros métodos, e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos obtidos. Portanto, eles nunca são utilizados para aproximar Predefinição:Pi quando velocidade ou precisão é desejado.Predefinição:Sfnm

Algoritmos de extração de dígitos

Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa do Predefinição:Pi. Eles são chamados de Predefinição:Ill, também conhecido como Predefinição:Lang (Predefinição:Lit), que assim como a água gotejando de uma torneira, eles produzem dígitos individuais de Predefinição:Pi que não são reutilizados após serem calculados.Predefinição:Sfn^[75] Esse método é um contraste em comparação às séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e utiliza todos os dígitos intermediários até o resultado final ser produzido.Predefinição:Sfn

Os matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo de extração de dígitos simples em 1995.^[75]Predefinição:Sfn^[76] A sua velocidade é comparável aos algoritmos de arco tangente, mas não é tão rápido quanto algoritmos iterativos.Predefinição:Sfn

Outro algoritmo é a fórmula BBP, descoberta em 1995 por Simon Plouffe:Predefinição:Sfn^[77] $π = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{1 6^{k}} (\frac{4}{8 k + 1} - \frac{2}{8 k + 4} - \frac{1}{8 k + 5} - \frac{1}{8 k + 6}) .$

Esta fórmula, diferente das anteriores, consegue produzir qualquer dígito hexadecimal de Predefinição:Pi sem ter que calcular os dígitos anteriores.Predefinição:Sfn Dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais e dígitos octais podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Uma aplicação importante dos algoritmos de extração de dígitos é validar novas declarações recordes de computação de Predefinição:Pi: após um novo recorde ser reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais selecionados aleatoriamente perto do final; se corresponderem, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto.^[70]

Entre 1998 e 2000, o projeto de processamento distribuído Pihex utilizou a fórmula de Bellard (uma modificação da fórmula BBP) para computar o quadrilionésimo (10¹⁵.º) bit de Predefinição:Pi, que acabou sendo zero.^[78] Em setembro de 2010, um empregado do Yahoo! utilizou o Hadoop da empresa em mil computadores da empresa durante um período de 23 dias para computar 256 bits de Predefinição:Pi no segundo quadrilionésimo (2×10¹⁵.º) bit, que também acabou sendo zero.^[79]

Em 2022, Plouffle encontrou um algoritmo de base 10 para calcular dígitos de Predefinição:Pi.^[80]

Papel e caracterizações na matemática

Pelo fato de Predefinição:Pi estar intimamente relacionado à circunferência, é encontrado em diversas fórmulas geométricas e trigonométricas, principalmente aquelas relacionadas a circunferências, esferas ou elipses. Outras áreas das ciências, como estatística, física, análise de Fourier e teoria dos números também incluem Predefinição:Pi em algumas fórmulas importantes.

Geometria e trigonometria

Predefinição:Pi aparece em fórmulas para áreas e volumes de figuras geométricas baseadas na circunferência, como elipses, esferas, cones e toros. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn

O comprimento de uma circunferência de raio Predefinição:Mvar é Predefinição:Math.
A área de um círculo de raio Predefinição:Mvar é Predefinição:Math.
A área de uma elipse como o semieixo maior Predefinição:Mvar e semieixo menor Predefinição:Mvar é Predefinição:Math.
O volume de uma esfera de raio Predefinição:Mvar é Predefinição:Math.
A superfície de uma esfera de raio Predefinição:Mvar é Predefinição:Math.

Algumas das fórmulas acima são casos especiais do volume de uma [[Bola (matemática)|bola Predefinição:Mvar-dimensional]] e a área da superfície é a área de seu contorno, a [[N-esfera|esfera (Predefinição:Math)-dimensional]], dado em Predefinição:Slink.

Além de circunferências, existem curvas de largura constante. Pelo teorema de Barbier, toda curva de largura constante tem o perímetro de Predefinição:Pi vezes sua largura. O triângulo de Reuleaux (formado pela intersecção de três círculos com os lados de um triângulo equilátero como seus raios) tem a menor área possível para sua largura e a circunferência a maior. Existem também curvas suaves e até mesmo algébricas não circulares de largura constante.^[81]

Integrais definidas que descrevem o comprimento, área e volume de formas geradas por circunferências tipicamente possuem valores que envolvem Predefinição:Pi. Por exemplo, uma integral que especifica metade da área de um círculo de raio um é dada por:^[82] $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{2} .$

Nessa integral, a função $\sqrt{1 - x^{2}}$ representa a altura sobre o eixo Predefinição:Mvar de uma semicírculo (a raiz quadrada é uma consequência do teorema de Pitágoras), e a integral computa a área abaixo do semicírculo.

Unidades de ângulo

Predefinição:VT

As funções trigonométricas dependem dos ângulos, e matemáticos geralmente utilizam radianos como unidade de medida. Predefinição:Pi tem um papel importante nos ângulos medidos em radianos, o qual é definido que um círculo completo abrange o ângulo de 2Predefinição:Pi radianos. O ângulo de medida 180° é igual a Predefinição:Pi, e Predefinição:Nowrap.Predefinição:Sfn

Funções trigonométricas comuns possuem períodos múltiplos de Predefinição:Pi; por exemplo, o período das funções seno e cosseno é 2Predefinição:Pi,Predefinição:Sfn então para qualquer ângulo Predefinição:Mvar e qualquer inteiro Predefinição:Mvar,Predefinição:Sfn $sen θ = sen (θ + 2 π k) e \cos θ = \cos (θ + 2 π k) .$

Autovalores

Várias das aparições de Predefinição:Pi nas fórmulas matemáticas e das ciências é devido sua relação íntima com a geometria. No entanto, Predefinição:Pi também aparece em situações naturais que aparentemente não possuem nenhuma relação com a geometria.

Em diversas aplicações, ele possui um papel distinto como um autovalor. Por exemplo, uma corda vibrando pode ser modelada como o gráfico de uma função Predefinição:Mvar no intervalo unitário Predefinição:Math, com os extremos fixos Predefinição:Math. Os modos de vibração da corda são soluções da equação diferencial $f^{″} (x) + λ f (x) = 0$ , ou $f^{″} (t) = - λ f (x)$ . Portanto, Predefinição:Math é um autovalor da segunda derivada do operador $f \mapsto f^{″}$ , e é restrito a apenas alguns certos valores pela teoria de Sturm-Liouville. Ele deve ser positivo, já que o operador é negativa definida, então é conveniente escrever que Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é chamado de número de onda. Então Predefinição:Math satisfaz as condições da fronteira e a equação diferencial com Predefinição:Math.^[83]

O valor Predefinição:Pi é, de fato, o menor valor de número de onda, sendo associado com o modo fundamental de vibração da corda. Uma maneira de demonstrar isso é estimando a energia, que satisfaz a inequação de Wirtinger:Predefinição:Sfn para uma função $f : [0, 1] \to ℂ$ com Predefinição:Math e Predefinição:Math, Predefinição:Math ambas quadrado integráveis, temos: $π^{2} \int_{0}^{1} | f (x) |^{2} d x \leq \int_{0}^{1} | f^{'} (x) |^{2} d x,$ com igualdade precisamente quando Predefinição:Mvar é um múltiplo de Predefinição:Math. Aqui Predefinição:Pi aparece como uma constante ótima na inequação de Wirtinger, e segue que é o menor valor de onda, usando o teorema minimax do autovalor. Como uma consequência, Predefinição:Pi é o menor valor singular do operador diferencial no espaço da função em Predefinição:Math sumindo em abas as extremidades (o espaço de Sobolev $H_{0}^{1} [0, 1]$ ).Predefinição:Sfn

Desigualdades

Ilustração de um mapa da antiga cidade de Cartago. — A antiga cidade de Cartago foi a solução para um problema isoperimétrico, conforme a linda recontada por Lord Kelvin:^[84] aquelas terras que margeiam o mar que a Rainha Dido poderiam envolver todos os outros lados num único couro de boi, cortado em tiras.

A serventia do número Predefinição:Pi que aparece nos problemas de autovalores ocorre semelhantemente na análise de dimensões superiores. Como mencionado em Predefinição:Slink, ele pode ser definido pelo seu papel de melhor constante na desigualdade isoperimétrica: A área Predefinição:Mvar envolvida por uma curva de Jordan plana de perímetro Predefinição:Mvar satisfaz a desigualdade $4 π A \leq P^{2},$ e a igualdade é claramente atingida pela circunferência, visto que neste caso Predefinição:Math e Predefinição:Math.^[85]

Em última análise, como consequência da desigualdade isoperimétrica, Predefinição:Pi aparece como a constante ótima para a desigualdade de Sobolev crítica em Predefinição:Mvar dimensões, que também caracteriza o papel de Predefinição:Pi em diversos fenômenos físicos, como, por exemplo, aquelas da teoria do potencial clássica.^[86]^[87]^[88] Em duas dimensões, a desigualdade de Sobolev crítica é $2 π ‖ f ‖_{2} \leq ‖ \nabla f ‖_{1}$ para uma função suave Predefinição:Mvar com o suporte compacto em Predefinição:Math, $\nabla f$ é o gradiente de Predefinição:Mvar, e $‖ f ‖_{2}$ e $‖ \nabla f ‖_{1}$ referem-se respectivamente à [[Espaço Lp|norma Predefinição:Math e Predefinição:Math]]. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas constantes ótimas.

A desigualdade de Wirtinger também generaliza a desigualdade de Poincaré para dimensões superiores que fornecem constantes ótimas para a energia de Dirichlet de uma membrana Predefinição:Mvar-dimensional. Especificamente, Predefinição:Pi é a maior constante tal que $π \leq \frac{{(\int_{G} | \nabla u |^{2})}^{1 / 2}}{{(\int_{G} | u |^{2})}^{1 / 2}}$ para todo subconjunto convexo Predefinição:Mvar de Predefinição:Math de diâmetro 1, e funções quadrado integráveis Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar de média zero.^[89] Bem como a desigualdade de Wirtinger é a forma variacional do problema do autovalor de Dirichlet em uma dimensão, a desigualdade de Poincaré é a forma variacional do problema do autovalor de Neumann em qualquer dimensão.

Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg

A constante Predefinição:Pi também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a transformada integral que pega uma função integrável de valores complexos Predefinição:Mvar na reta real para a função definida como: $\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i x ξ} d x .$

Por mais que haja várias convenções para a transformada de Fourier e sua inversa, qualquer convenção deve envolver Predefinição:Pi em algum lugar. A operação em Predefinição:Math que também é um homomorfismo de Predefinição:Math para Predefinição:Math.^[90]

O princípio da incerteza de Heisenberg também contém o número Predefinição:Pi. o princípio da incerteza fornece uma cota inferior nítida sobre até que ponto é possível localizar uma função tanto no espaço quanto na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier, $(\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} | f (x) |^{2} d x) (\int_{- \infty}^{\infty} ξ^{2} | \hat{f} (ξ) |^{2} d ξ) \geq {(\frac{1}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} | f (x) |^{2} d x)}^{2} .$

A consequência física, sobre a incerteza simultânea na observação da posição e do momento de um sistema da mecânica quântica, é discutida em Predefinição:Slink. A aparição de Predefinição:Pi nas fórmulas da análise de Fourier é uma consequência do teorema de Stone–von Neumann, afirmando a unicidade da representação de Schrödinger do grupo de Heisenberg.^[91]

Integral Gaussiana

Diagrama mostrando um gráfico em forma de sino. — Um gráfico da função de Gauss Predefinição:Math. A região colorida entre a função e o eixo x tem área igual a Predefinição:Math.

Os campos da probabilidade e estatística frequente usam a distribuição normal como um modelo simples para fenômenos complexos; por exemplo, cientistas geralmente assumem que o erro observacional na maioria dos experimentos seguem uma distribuição normal.^[92] A função de Gauss, a qual é a função densidade de probabilidade da distribuição normal com média Predefinição:Mvar e desvio padrão Predefinição:Mvar, contém Predefinição:Pi:Predefinição:Sfn $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- (x - μ)^{2} / (2 σ^{2})} .$

O fator de $\frac{1}{\sqrt{2 π}}$ faz com que a área sob o gráfico de Predefinição:Mvar seja igual a um, como um requisito para a distribuição de probabilidade. Isto segue de uma mudança de variável da integral Gaussiana Predefinição:Sfn $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = \sqrt{π},$ que diz que uma curva em forma de sino básica, como na figura, é igual à raiz quadrada de Predefinição:Pi.

O teorema central do limite explica o papel central das distribuições normais, e, portanto, de Predefinição:Pi, na probabilidade e na estatística. O teorema está, em última análise, conectado com a caracterização espectral de Predefinição:Pi como o autovalor associado ao princípio da incerteza de Heisenberg, e com o fato de que a igualdade é válida no princípio da incerteza apenas para a função gaussiana.Predefinição:Sfn Equivalente, Predefinição:Pi é a única constante que faz a distribuição normal gaussiana Predefinição:Math igual à sua própria transformada de Fourier.^[93] De fato, conforme Howe, "todo o negócio" de estabelecer os teoremas fundamentais da análise de Fourier reduz-se à integral gaussiana.^[91]

Topologia

A constante Predefinição:Pi aparece na fórmula de Gauss–Bonnet, que relaciona a geometria diferencial de superfícies à sua topologia. Especificamente, se uma superfície compacta Predefinição:Math tem curvatura gaussiana Predefinição:Mvar, então $\int_{Σ} K d A = 2 π χ (Σ)$ onde Predefinição:Math é a característica de Euler, na qual é um inteiro.^[94] Um exemplo é a área da superfície de uma esfera Predefinição:Mvar de curvatura 1 (então seu raio de curvatura, no qual coincide com seu raio, também é 1). A característica de Euler de uma esfera pode ser computada de seus grupos de homologia e encontra-se que é igual a dois. Portanto, temos $A (S) = \int_{S} 1 d A = 2 π \cdot 2 = 4 π$ reproduzindo a fórmula para a área da superfície de uma esfera de raio 1.

A constante aparece em várias outras fórmulas de integral na topologia, em particular, aquelas envolvendo classes características pelo homomorfismo de Chern–Weil.^[95]

Fórmula integral de Cauchy

Uma das ferramentas-chave na análise complexa é a integral de contorno de uma função sobre uma curva de Jordan retificável Predefinição:Mvar. Uma forma da fórmula integral de Cauchy afirma que se um ponto Predefinição:Math está no interior de Predefinição:Mvar, então^[96] $\oint_{C} \frac{d z}{z - z_{0}} = 2 π i .$

Apesar da curva Predefinição:Mvar não ser uma circunferência, e, portanto, não tem uma óbvia conexão com Predefinição:Pi, uma prova usual deste resultado utiliza o teorema de Morera, que implica que a integral é uma invariante sob homotopia da curva, então pode ser deformada numa circunferência e então ser integrada explicitamente em coordenadas polares. De forma mais geral, é verdade que se uma curva retificável fechada Predefinição:Mvar não contém Predefinição:Math, então a integral acima é Predefinição:Math multiplicado pelo índice da curva.^[97]

A forma geral da integral de Cauchy estabelece a relação entre os valores de uma função holomórfica Predefinição:Math na curva de Jordan Predefinição:Mvar e o valor de Predefinição:Math em qualquer ponto abaixo de Predefinição:Math de Predefinição:Mvar:^[98] $\oint_{γ} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = 2 π i f (z_{0}),$ desde que Predefinição:Math seja analítico na região delimitada por Predefinição:Mvar e se estenda continuamente até Predefinição:Mvar.

A fórmula integral de Cauchy é um caso especial do teorema dos resíduos, que se Predefinição:Math é uma função meromorfa da região delimitada por Predefinição:Mvar e é contínua numa vizinhança de Predefinição:Mvar, então $\oint_{C} g (z) d z = 2 π i \sum Res (g, a_{k}),$ onde Predefinição:Math é o resíduo de Predefinição:Mvar no polo Predefinição:Mvar Predefinição:Spaces.

Cálculo vetorial

A constante Predefinição:Pi é onipresente no cálculo vetorial e na teoria do potencial, como, por exemplo, na lei de Coulomb,^[99] lei de Gauss, nas equações de Maxwell, e até mesmo nas equação de campo de Einstein.^[100]^[101] Provavelmente o exemplo mais simples é o potencial newtoniano de duas dimensões, representando o potencial de um ponto fonte na origem, cujo campo associado tem fluxo unitário para fora através de qualquer superfície fechada lisa e orientada que envolve a fonte: $Φ (𝐱) = \frac{1}{2 π} \log | 𝐱 | .$

O fator de Predefinição:Math é necessário para assegurar que Predefinição:Math é a solução fundamental da equação de Poisson em $ℝ^{2}$ :^[102] $Δ Φ = δ$ onde Predefinição:Mvar é o delta de Dirac.

Em dimensões superiores, fatores de Predefinição:Pi são presentes devido à normalização pelo volume Predefinição:Mvar-dimensional da [[N-esfera|Predefinição:Mvar-esfera]] unitária. Em três dimensões, por exemplo, o potencial newtoniano é:^[102] $Φ (𝐱) = - \frac{1}{4 π | 𝐱 |},$ que possui o volume bidimensional (isto é, a área) da 2-esfera unitária no denominador.

Função gama e fórmula de Stirling

A função fatorial Predefinição:Math é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a Predefinição:Mvar. A função gama estende esse conceito de fatorial (usualmente definido apenas para os inteiros não negativos) para todos os números complexos, exceto pelos reais inteiros negativos, com a identidade $Γ (n) = (n - 1)!$ . Quando a função gama é avaliada na metade de dois inteiros, o resultado contém Predefinição:Pi. Por exemplo, $Γ (1 / 2) = \sqrt{π}$ e $Γ (5 / 2) = \frac{3 \sqrt{π}}{4}$ .Predefinição:Sfn

A função gama é definida pelo seu desenvolvimento do Predefinição:Ill:^[103] $Γ (z) = \frac{e^{- γ z}}{z} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + z / n} ω$ onde Predefinição:Mvar é a constante de Euler-Mascheroni. Quando avaliada em Predefinição:Math e elevada ao quadrado, a equação Predefinição:Math reduz à fórmula do produto de Wallis. A função gama também está conectada à função zeta de Riemann e identidades para o determinante funcional, no qual a constante Predefinição:Pi desempenha um papel importante.

A função gama é utilizada para calcular o volume Predefinição:Math de uma [[Bola (matemática)|bola Predefinição:Mvar-dimensional]] de raio Predefinição:Mvar no espaço euclidiano Predefinição:Mvar-dimensional, e a área da superfície Predefinição:Math de seu contorno, a [[N-esfera|esfera (Predefinição:Math)-dimensional]]:^[104] $V_{n} (r) = \frac{π^{n / 2}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} r^{n},$ $S_{n - 1} (r) = \frac{n π^{n / 2}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} r^{n - 1} .$

Além disso, segue da equação funcional que $2 π r = \frac{S_{n + 1} (r)}{V_{n} (r)} .$

A função gama pode ser utilizada para criar uma aproximação simples para a função fatorial Predefinição:Math para um Predefinição:Mvar grande: $n! \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}$ , conhecida como aproximação de Stirling.Predefinição:Sfn Equivalentemente, $π = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2 n} n!^{2}}{2 n^{2 n + 1}} .$

Como uma aplicação geométrica da aproximação de Stirling, utilizando Predefinição:Math para denotar o simplexo unitário em um espaço euclidiano Predefinição:Mvar-dimensional, e Predefinição:Math para denotar o simplexo com todos os seus lados multiplicados por Predefinição:Math. Então, $Vol ((n + 1) Δ_{n}) = \frac{(n + 1)^{n}}{n!} \sim \frac{e^{n + 1}}{\sqrt{2 π n}} .$

A conjectura de volume de Ehrhart é que este é a cota superior (ótima) do volume de um corpo convexo que contém apenas um ponto de uma rede diagonal.^[105]

Teoria dos números e função zeta de Riemann

Cada primo tem um grupo de Prüfer associado, os quais são localizações aritméticas da circunferência. As funções L da teoria analítica dos números também estão localizadas em cada primo Predefinição:Mvar.

Diagrama de arcos azuis formando padrões simétricos sobre uma linha horizontal de números de -2 a 2, com uma área sombreada entre 0 e 1. — Solução do problema de Basileia utilizando a conjectura de Weil: o valor de Predefinição:Math é a área hiperbólica de um domínio fundamental do grupo modular, multiplicado por Predefinição:Math.

A função zeta de Riemann Predefinição:Math é utilizada em diversas áreas da matemática. Quando avaliada em Predefinição:Math, pode ser escrita como $ζ (2) = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$

Encontrar uma solução simples para esta série infinita era um problema famoso na matemática chamado de problema da Basiléia. Leonhard Euler a resolveu em 1735, mostrando que era igual a Predefinição:Math.Predefinição:Sfn O resultado de Euler levou ao resultado da teoria dos números de que a probabilidade de dois números aleatórios serem primos entre si (ou seja, não terem fatores compartilhados) é igual a Predefinição:Math.Predefinição:Sfn^[106] Esta possibilidade é baseada na observação de que a probabilidade de um número qualquer ser divisível por um primo Predefinição:Mvar é Predefinição:Math (por exemplo, um a cada sete inteiros é divisível por sete.) Visto que a probabilidade de dois números serem divisíveis por Predefinição:Mvar é Predefinição:Math, e a probabilidade de pelo menos um deles não ser é Predefinição:Math. Para primos distintos, esses eventos de divisibilidade são mutualmente independentes; então a probabilidade de que dois números serem relativamente primos entre si é dado pelo produto sobre todos os primos:^[107] $\begin{matrix} \prod_{p}^{\infty} (1 - \frac{1}{p^{2}}) & = {(\prod_{p}^{\infty} \frac{1}{1 - p^{- 2}})}^{- 1} \\ = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots} \\ = \frac{1}{ζ (2)} = \frac{6}{π^{2}} \approx 61 % . \end{matrix}$

Esta probabilidade pode ser utilizada em conjunto com um gerador de números aleatórios para aproximar Predefinição:Pi usando uma abordagem de Monte Carlo.Predefinição:Sfn

A solução do problema de Basileia implica que a quantidade derivada geometricamente Predefinição:Pi está ligada profundamente à distribuição dos números primos. Este é um caso especial da conjetura de Weil sobre os Predefinição:Ill, que afirma a igualdade de produtos infinitos semelhantes de quantidades aritméticas, localizadas em cada primo Predefinição:Mvar, e uma quantidade geométrica: o inverso do volume de um certo espaço localmente simétrico. No caso do problema de Basileia, trata-se da 3-variedade hiperbólica Predefinição:Math.^[108]

A função zeta também satisfaz a equação funcional de Riemann, que também envolve tanto Predefinição:Pi quanto a função gama: $ζ (s) = 2^{s} π^{s - 1} sen (\frac{π s}{2}) Γ (1 - s) ζ (1 - s) .$

Além disso, a derivada da função zeta satisfaz $\exp (- ζ^{'} (0)) = \sqrt{2 π} .$

Uma das consequências é que Predefinição:Pi pode ser obtido do determinante funcional do oscilador harmônico. Este determinante funcional pode ser computado pela expansão do produto, sendo equivalente à fórmula do produto de Wallis.^[109] O cálculo pode ser reformulado na mecânica quântica, especificamente a abordagem variacional do espectro do átomo de hidrogênio.^[110]

Série de Fourier

[[Imagem:2-adic integers with dual colorings.svg|thumb|alt=Diagrama aribuindo uma posição e cor para cada número diádico.|Predefinição:Pi aparece nos caracteres de [[número p-ádico|números Predefinição:Mvar-ádicos]] (figura), que são elementos de um grupo de Prüfer.^[111]|left]] A constante Predefinição:Pi também aparece naturalmente nas séries de Fourier de funções periódicas. Funções periódicas são funções no grupo Predefinição:Math de partes fracionárias de números reais. A decomposição de Fourier mostra que funções complexas Predefinição:Mvar em Predefinição:Math podem ser escritas como superposição linear infinita de caracteres unitários de Predefinição:Math. Isto é, homomorfismos de grupos contínuos de Predefinição:Math para o grupo circular unitário Predefinição:Math de números complexos de módulo unitário. É um teorema que dada caráter de Predefinição:Math é um dos expoentes complexos $e_{n} (x) = e^{2 π i n x}$ .

Há um único caráter em Predefinição:Math, salvo pelo conjugado complexo, que é um isomorfismo de grupo. Utilizando a medida de Haar no grupo circular, a constante Predefinição:Pi é metade da magnitude da derivada de Randon–Nikodym deste caráter. Os outros caracteres têm derivadas cujas magnitudes são integrais positivas múltiplas de 2Predefinição:Pi.^[16] Como resultado, a constante Predefinição:Pi é o único número tal que o grupo Predefinição:Math, junto com sua medida de Haar, é uma dualidade de Pontryagin na malha de integrais múltiplas de 2Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn Esta é uma versão da fórmula do somatório de Poisson unidimensional.

Formas modulares e funções teta

A constante Predefinição:Pi está intimamente conectada com as formas modulares e funções teta. Por exemplo, o algoritmo de Chudnovsky envolve de forma essencial o [[j-invariante|Predefinição:Mvar-invariante]] de uma curva elíptica.

Formas modulares são funções holomorfas no semiplano superior caracterizado pelas suas propriedades de transformação sob o grupo modular ${S L}_{2} (ℤ)$ (ou seus vários subgrupos), uma malha sob o grupo ${S L}_{2} (ℝ)$ . Um exemplo é a função teta de Jacobi $θ (z, τ) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{2 π i n z + π i n^{2} τ}$ que é um tipo de forma modular chamada forma de Jacobi.^[112] Às vezes é escrita em termos do nome $q = e^{π i τ}$ .

A constante Predefinição:Pi é o único valor que faz a função teta de Jacobi ser uma forma automórfica, que significa que ela transforma de uma maneira específica. Certas identidades valem para todas as formas automórficas. Um exemplo é $θ (z + τ, τ) = e^{- π i τ - 2 π i z} θ (z, τ),$ que implica que Predefinição:Mvar transforma como uma representação sob o grupo de Heisenberg discreto. Formas modulares gerais e outras funções teta também envolvem Predefinição:Pi, novamente devido ao teorema de Stone–von Neumann.^[112]

Distribuição de Cauchy e teoria do potencial

A distribuição de Cauchy $g (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$ é a função de densidade de probabilidade. A probabilidade total é igual a um, devido à integral: $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} d x = π .$

A entropia da distribuição de Cauchy é igual a Predefinição:Math, também envolvendo Predefinição:Pi.

A distribuição de Cauchy desempenha um papel importante na teoria do potencial, visto que é a medida de Furstenberg mais simples, o núcleo de Poisson clássico associado a um movimento browniano em um semiplano.^[113] As funções conjugadas harmônicas e também a transformada de Hilbert estão associadas à assintótica do núcleo de Poisson. A transformação de Hilbert Predefinição:Mvar é a transformação integral dada pelo valor principal de Cauchy da integral singular $H f (t) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{f (x) d x}{x - t} .$

A constante Predefinição:Pi é o único fator de normalização (positivo) tal que Predefinição:Mvar define uma estrutura linear complexa no espaço de Hilbert de funções reais quadrado integráveis na reta real.^[114] A transformada de Hilbert, bem como a transformada de Fourier, pode ser caracterizada puramente em termos de suas propriedades de transformação no espaço de Hilbert Predefinição:Math: salvo por um fator de normalização, é o único operador linear limitado que comuta com dilatações positivas e anticomuta com todas as reflexões da reta real.^[115] A constante Predefinição:Pi é o único fator de normalização que faz esta transformação unitária.

Conjunto de Mandelbrot

Uma ocorrência de Predefinição:Pi no fractal chamado de conjunto de Mandelbrot foi descoberto por David Boll em 1991.^[116] Ele examinou o comportamento do conjunto próximo ao "pescoço" em Predefinição:Math. Quando o número de iterações até a divergência para o ponto Predefinição:Math é multiplicado por Predefinição:Mvar, o resultado se aproxima de Predefinição:Pi à medida que Predefinição:Mvar se aproxima de zero. O ponto Predefinição:Math na cúspide do grande "vale" no lado direito do conjunto também se comporta de um modo similar: o número de iterações até que a divergência multiplicada pela raiz quadrada de Predefinição:Mvar tende a Predefinição:Pi.^[116]^[117]

Geometria projetiva

Seja Predefinição:Mvar um conjunto de todas as funções reais duplamente diferenciáveis $f : ℝ \to ℝ$ que satisfaçam a equação diferencial ordinária $f^{″} (x) + f (x) = 0$ , então Predefinição:Mvar é um espaço vetorial real bidimensional, com dois parâmetros correspondentes a um par de condições iniciais para a equação diferencial. Para qualquer $t \in ℝ$ , sendo $e_{t} : V \to ℝ$ o funcional de avaliação, que é associado para cada Predefinição:Math o valor Predefinição:Math da função Predefinição:Mvar no ponto real Predefinição:Mvar. Então, para cada Predefinição:Mvar, o núcleo de Predefinição:Mvar é um subespaço linear unidimensional de Predefinição:Mvar. Como Predefinição:Math define uma função de $ℝ \to ℙ (V)$ da reta real à reta projetiva real. Esta função é periódica, e a quantidade Predefinição:Pi pode ser caracterizada como o período dessa função.^[118] Este é um notável pelo fato de a constante Predefinição:Pi aparecer naturalmente nesse contexto, em vez de Predefinição:Math.

Fora da matemática

Descrever fenômenos físicos

Apesar de não ser uma constante física, Predefinição:Pi aparece rotineiramente em equações descrevendo princípios fundamentais do universo, geralmente devido à relação de Predefinição:Pi com a circunferência e ao sistema esférico de coordenadas. Uma fórmula simples do campo da mecânica clássica dá o período Predefinição:Mvar aproximado de um pêndulo simples de comprimento Predefinição:Mvar, balançando com uma pequena amplitude (Predefinição:Mvar é a aceleração gravitacional da Terra):^[119] $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} .$

Uma das fórmulas-chave da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, que mostra que a incerteza da posição de uma partícula (Predefinição:Math) e momento linear (Predefinição:Math) não pode ser ambas arbitrariamente pequenas ao mesmo tempo (onde Predefinição:Mvar é a constante de Planck):^[120] $Δ x Δ p \geq \frac{h}{4 π} .$

O fato que Predefinição:Pi é aproximadamente igual a 3 desempenha um importante papel na vida relativamente longa do ortopositrônio. O inverso da vida para a menor ordem da constante de estrutura fina Predefinição:Mvar é^[121] $\frac{1}{τ} = 2 \frac{π^{2} - 9}{9 π} m_{e} α^{6},$ onde Predefinição:Math é a massa do elétron.

Predefinição:Pi está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como a fórmula de flambagem derivada por Euler, que fornece a carga axial máxima Predefinição:Mvar que uma coluna longa e delgada de comprimento Predefinição:Mvar, módulo de elasticidade Predefinição:Mvar e momento de inércia de área Predefinição:Mvar pode suportar sem flambagem:^[122] $F = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} .$

O campo da dinâmica dos fluidos contém Predefinição:Pi na lei de Stokes, que aproxima a força de fricção Predefinição:Mvar exercido em pequenos objetos esféricos de raio Predefinição:Mvar, se movendo com uma velocidade Predefinição:Mvar num fluido com viscosidade dinâmica Predefinição:Mvar:^[123] $F = 6 π η R v .$

Em eletromagnetismo, a constante permeabilidade do vácuo μ₀ aparece nas equações de Maxwell, que descrevem as propriedades dos campos elétricos e magnéticos e radiação eletromagnética.^[124] Antes de 20 de maio de 2019, era definido exatamente como^[125] $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H/m \approx 1, 2566370614 \dots \times 1 0^{- 6} {N/A}^{2} .$

Memorizar dígitos

Predefinição:AP Pifilologia é a prática de memorizar um grande número de dígitos de Predefinição:Pi.Predefinição:Sfn e recordes mundiais são mantidos pelo Guinness World Records. O recorde de memorizar dígitos de Predefinição:Pi, certificado pelo Guinness World Records, é de 70 mil dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015.^[126] Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, alegou ter recitado cem mil casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records.^[127]

Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema que a quantidade de letras da palavra representa os dígitos de Predefinição:Pi: a primeira palavra possui três letras, a segunda tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco, e assim por diante. Tais auxiliares de memorização são chamados de mnemônicos.Predefinição:Sfn

Na cultura popular

Talvez devido à sua simplicidade de sua definição e sua onipresença em fórmulas, Predefinição:Pi se representou na cultura popular mais do que qualquer outra construção matemática.^[128]

No museu científico Palais de la découverte, em Paris, há uma sala circular conhecida como sala do pi. Em suas paredes estão escritos 707 dígitos de Predefinição:Pi. Os dígitos são grandes caracteres de madeira preso ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados num cálculo de 1873 pelo matemático inglês William Shanks, que inclui um erro no 528.º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn

No romance Contact de 1985 de Carl Sagan é sugerido que o criador do universo enterrou uma mensagem nas profundidades dos dígitos de Predefinição:Pi. Esta parte da história foi omitida na adaptação em filme do romance.Predefinição:Sfn^[129] Os dígitos de Predefinição:Pi também foram incorporados nas letras da música "Pi" do álbum Aerial de Kate Bush.^[130] No episódio "Wolf in the Fold" de 1967 de Star Trek, um computador fora de controle foi contido ao ser instruído para "computar o último dígito do valor de Predefinição:Pi".^[27]

Nos Estados Unidos, o Dia do Pi cai no dia 14 de março (escrito 3/14 no estilo norte-americano), sendo popular entre os estudantes.^[27] Predefinição:Pi e sua representação digital é geralmente utilizada por "geeks matemáticos" autoproclamados por piadas internas entre grupos de pessoas interessadas em matemática e tecnologia. Um grito de torcida universitário atribuído variadamente ao Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) ou ao Instituto Politécnico Rensselaer inclui "3,14159".^[131]^[132] O Dia do Pi em 2015 foi particularmente significante porque a data e hora 3/14/15 9:26:53 refletia ainda mais dígitos de Predefinição:Pi.^[133]^[134] Nos locais nos quais as datas são geralmente escritas no formato dia/mês/ano, 22 de julho representa o "Dia da Aproximação de Pi", visto que Predefinição:Math.^[135]

Predefinição:ÂncoraAlgumas pessoas propuseram que o Predefinição:Pi fosse substituído por [[Tau (constante matemática)|Predefinição:Math]],^[136] argumentando que Predefinição:Mvar, definido como uma volta ou a razão do comprimento duma circunferência pelo seu raio, é mais natural que Predefinição:Pi, além de simplifica diversas fórmulas.^[137]^[138] Este uso de Predefinição:Math não chegou à matemática convencional,^[139] mas isso levou pessoas a comemorarem o Dia do Dois Pi ou Dia do Tau em 28 de junho desde 2010.^[140]

Em 1897, um matemático amador tentou persuadir a legislatura de Indiana para aprovar o projeto de lei de Indiana sobre Pi, que descrevia um método para realizar a quadratura do círculo e continha um texto que implicava vários valores incorretos de Predefinição:Pi, incluindo 3,2. O projeto de lei é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante matemática por decreto legislativo. O projeto foi aprovado pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitado pelo Senado e, portanto, não se tornou lei.Predefinição:Sfn Predefinição:Sfn^[141]

Na cibercultura contemporânea, indivíduos e organizações fazem homenagens ao número Predefinição:Pi. Por exemplo, o cientista computacional Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa TeX se aproximasse de Predefinição:Pi. As versões eram 3, 3.1, 3.14, e assim por diante.^[142]

Ver também

Predefinição:Notas Predefinição:Referências

Bibliografia

Predefinição:InícioRef

Predefinição:RefFim

Leitura adicional