Comprimento da circunferência

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Predefinição:Linha de legenda Predefinição:Linha de legenda Predefinição:Linha de legenda Predefinição:Linha de legenda Circunferência = Predefinição:Pi × diâmetro = 2Predefinição:Pi × raio

Em geometria, o comprimento da circunferência (do latim circumferens, que significa "carregar ao redor") é o perímetro de uma circunferência ou elipse. A circunferência é o comprimento do arco do círculo, como se ele fosse aberto e endireitado em um segmento de reta. De maneira geral, o perímetro é o comprimento da curva em torno de qualquer figura fechada.

Círculo

O comprimento de um círculo é a distância ao redor dele, mas se, como em muitos tratamentos elementares, a distância for definida em termos de linhas retas, isso não poderá ser usado como definição. Nessas circunstâncias, a circunferência de um círculo pode ser definida como o limite dos perímetros de polígonos regulares inscritos à medida que o número de lados aumenta sem limites. O termo comprimento da circunferência é usado ao medir objetos físicos, bem como ao considerar formas geométricas abstratas.

Relação com Predefinição:Pi

O comprimento de uma circunferência está relacionada a uma das mais importantes constantes matemáticas. Essa constante, pi, é representada pela letra grega [[Pi (letra)|Predefinição:Pi]]. Os primeiros dígitos decimais do valor numérico de Predefinição:Pi são Predefinição:Math

Pi é definido como a razão do comprimento Predefinição:Mvar de uma circunferência em relação ao seu diâmetro Predefinição:Mvar: $$\pi =\frac{C}{d}.$$

Ou, equivalentemente, como a razão entre a circunferência e o dobro do raio. A fórmula acima pode ser reorganizada para isolar Predefinição:Mvar:

$$C=\pi \cdot d=2\pi \cdot r.$$

A razão entre o comprimento da circunferência e seu raio é chamada de constante do círculo e é equivalente a Predefinição:Math. O valor Predefinição:Math também é a quantidade de radianos em uma volta. O uso da constante matemática Predefinição:Pi é onipresente na matemática, na engenharia e na ciência.

Em Predefinição:Ill, escrito por volta de 250 a.C., Arquimedes mostrou que essa proporção ($C/d,$ já que ele não usou o nome Predefinição:Pi) era maior que 3Predefinição:Sfrac mas menor que 3Predefinição:Sfrac calculando os perímetros de um polígono regular inscrito e circunscrito de 96 lados. Esse método de aproximação de Predefinição:Pi foi usado durante séculos, obtendo mais precisão com o uso de polígonos com um número cada vez maior de lados. O último cálculo desse tipo foi realizado em 1630 por Christoph Grienberger, que usou polígonos com Predefinição:Math lados.

Elipse

Predefinição:Artigo principal A noção de perímetro pode ser generalizada para elipses. Não existe uma fórmula geral para o comprimento de uma elipse em termos dos semieixos maior e menor da elipse que use apenas funções elementares. Entretanto, há fórmulas aproximadas em termos desses parâmetros. Uma dessas aproximações, devida a Euler (1773), para a elipse canônica, $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

é $$C_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}}\sim \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}.$$

Alguns limites inferiores e superiores do comprimento da elipse canônica com Predefinição:Math são: $$2\pi b\le C\le 2\pi a,$$ $$\pi (a+b)\le C\le 4(a+b),$$ $$4\sqrt{a^2+b^2}\le C\le \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}.$$

Aqui, o limite superior Predefinição:Math é o comprimento de um círculo concêntrico circunscrito passando pelos pontos finais do eixo maior da elipse, e o limite inferior $4\sqrt{a^2+b^2}$ é o perímetro de um losango inscrito com vértices nos pontos finais dos eixos maior e menor.

O comprimento de uma elipse pode ser expresso exatamente em termos da integral elíptica completa do segundo tipo. Mais precisamente,$$C_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}}=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta ,$$

em que Predefinição:Mvar é o comprimento do semieixo maior e Predefinição:Mvar é a excentricidade $\sqrt{1-b^2/a^2}.$

Ver também

• Comprimento do arco – Distância ao longo de uma curva
• Área – Tamanho de uma superfície bidimensional
• Desigualdade isoperimétrica – Desigualdade geométrica que estabelece um limite inferior para a área da superfície de um conjunto dado seu volume

Ligações externas

• Numericana - Circunferência de uma elipse (em inglês)