Polígono regular

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados iguais (equilátero) e todos os seus ângulos iguais (equiângulo), sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

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  Triângulo equilátero
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  Quadrado
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  Pentágono regular
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  Hexágono regular
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  Heptágono regular
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  Octógono regular
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  Eneágono regular
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  Decágono regular

Formulário

Para um polígono regular de $n$ lados, e medida de lado $l$:

Soma dos Ângulos Internos (S_i)

A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em $n-2$ triângulos, cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se $S_i$ A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a 180ºx(n-2)

$S_i=(n-2).180^{\circ }$

ou, em radianos,

$S_i=(n-2)\pi$

Ângulos Internos

Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é:

$A_i=180-360n^{-1}$

Ângulos Externos

São os suplementos dos ângulos internos:

$A_e=180^{\circ }-A_i=\frac{360^{\circ }}{n}$

ou, em radianos:

$A_e=\frac{2\pi }{n}$

Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º. A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono convexo (em que só pode traçar ligas por dentro do polígono) é igual a 360º.

Raio

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência circunscrita ao polígono.

$r=\frac{l}{2.\cos (A_i/2)}$

$r=\frac{l}{2.\mathrm{sen}(\pi /n)}=\frac{l}{2.\mathrm{sen}(180^{\circ }/n)}$

Apótema (a)

Distancia do ponto médio do segmento do polígono circunscrito até o centro da circunferência. (formando 90°)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

$a=\sqrt{r^2-l^2/4}$

ou

$a=r.\mathrm{sen}(A_i/2)$

ou

$a=r.\cos (\pi /n)=r.\cos (180^{\circ }/n)$

ou

$a=\frac{l.\tan (A_i/2)}{2}$

ou

$a=\frac{l}{2.\tan (\pi /n)}=\frac{l}{2.\tan (180^{\circ }/n)}$

Altura (h)

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

• Se n é par:

$h=2.a$

• Se n é ímpar:

$h=r+a$

No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:

$h=3.a$

Diagonais

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).

Diagonal principal (d_p)

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

• Se n é par:

$d_p=2.r$

Maior diagonal (d _> )

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

• Se n é ímpar e maior que 3:

$d_{>}=\frac{h}{\mathrm{sen}[\frac{A_i.(n-1)}{2.(n-2)}]}$

Menor diagonal (d _< )

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

• Para n maior que 3:

$d_{<}=\frac{l.\mathrm{sen}(A_i)}{\mathrm{sen}[\frac{A_i}{(n-2)}]}$

Número de diagonais (Nd)

$Nd=\frac{n.(n-3)}{2}$

Número de diagonais de um único vértice

O número de diagonais que se pode obter de um vértice é

$N_d=(n-3)$

Perímetro (2p)

Soma da medida dos lados.

$2P=n.l$

Semiperímetro (p)

Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica

$p=\frac{n.l}{2}$

Área (A)

Superfície ocupada pelo polígono.

$A=\frac{n.l^2}{4.\tan (\pi /n)}=\frac{n.l^2}{4.\tan (180^{\circ }/n)}$

ou

$A=\frac{n.l.a}{2}$

$A=p.a$

Circunferência circunscrita

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

Comprimento (L_circ)

$L_{circ}=2.\pi .r$

ou

$L_{circ}=\frac{\pi .l}{\mathrm{sen}(\pi /n)}=\frac{\pi .l}{\mathrm{sen}(180^{\circ }/n)}$

Área (A_circ)

$A_{circ}=\pi .r^2$

ou

$A_{circ}=\frac{\pi .l^2}{4.{\mathrm{sen}}^2(\pi /n)}=\frac{\pi .l^2}{4.{\mathrm{sen}}^2(180^{\circ }/n)}$

Circunferência Inscrita

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

Comprimento (L_ins)

$L_{ins}=2.\pi .a$

ou

$L_{ins}=\frac{\pi .l}{\tan (\pi /n)}=\frac{\pi .l}{\tan (180^{\circ }/n)}$

Área (A_ins)

$A_{ins}=\pi .a^2$

ou

$A_{ins}=\frac{\pi .l^2}{4.{\tan }^2(\pi /n)}=\frac{\pi .l^2}{4.{\tan }^2(180^{\circ }/n)}$

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:

$\mathrm{\Delta }{A}_{\circ }=A_{circ}-A_{ins}=\frac{\pi .l^2}{4}$