Análise complexa

Predefinição:Mais notas Predefinição:Análise complexa A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.

Já que uma função diferenciável de variável complexa é igual à soma de sua série de Taylor Predefinição:Mdash isto é, também é uma função analítica Predefinição:Mdash a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas funções holomorfas.

Funções complexas

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos. Seja A um conjunto de números complexos. Se $z$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então $z$ é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa $z$ para com uma outra variável complexa $w$ para cada valor possível de $z$ (elementos do conjunto A), então $w$ é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como $w=f(z).$ O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função $w.$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma $z=a+bi,$ em que $a=R(z),b=Im(z)$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa $w=f(z)$ na forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+...+a_n{z}^n,$ em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Predefinição:Artigo principal Seja Predefinição:Math uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto Predefinição:Math, sendo possivelmente não definida no próprio ponto Predefinição:Math. De forma análoga ao caso real, define-se o limite Predefinição:Math dessa função quando a variável Predefinição:Math tende ao ponto Predefinição:Math como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme Predefinição:Math fica arbitrariamente próximo de Predefinição:Math. Em linguagem matemática formal, diz-se que

$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=L$,

se, para cada número Predefinição:Math existe um outro número Predefinição:Math com a propriedade de que a desigualdade Predefinição:Math é válida para todos os valores de Predefinição:Math tais que Predefinição:Math e Predefinição:Math. Nessa definição, as barras Predefinição:Math representam o módulo de um número complexo, definido como Predefinição:Math para Predefinição:Math, em que Predefinição:Math e Predefinição:Math são as partes real e complexa de Predefinição:Math, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é $f(z)\to L$ para $z\to z_0$.

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Predefinição:Artigo principal Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=f^{\prime }(z_0)=\frac{df}{dz}(z_0),$ denominado "derivada" da função $f$ em relação a $z$ no ponto $z_0.$ Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

Predefinição:Artigo principal Suponha que a função f seja derivável em $z_0,$ em que $z_0=x_0+i{y}_0:$

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

$$f^{\prime }(z)=a+ib$$

$$\mathrm{\Delta }f=f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)$$

$$\mathrm{\Delta }u=u(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_o+\mathrm{\Delta }y)-u(x_0,y_0)$$

e $\mathrm{\Delta }v,$ para a mudança correspondente em v(x,y). Então $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }u+i\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y}=a+ib$

e também:

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\text{Re}\left(\frac{\mathrm{\Delta }u+i\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y}\right)=a$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\text{Im}\left(\frac{\mathrm{\Delta }u+i\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y}\right)=b$$

Em particular, quando $\mathrm{\Delta }y=0,$ em que $\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x,$ esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{u(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=a$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{v(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=b$$

ou seja, as derivadas parciais $\frac{\partial u}{\partial x}$ e $\frac{\partial v}{\partial x}$ com relação a x existem no ponto $(x_0,y_0)$ e

$$\frac{\partial u}{\partial x}=a$$ e $$\frac{\partial v}{\partial x}=b$$

O procedimento análogo pode ser feito observando quando $\mathrm{\Delta }x=0(\mathrm{\Delta }z=i\mathrm{\Delta }y)$ de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-b$$ e $$\frac{\partial v}{\partial y}=a,$$ no ponto $(x_0,y_0)$

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como $f^{\prime }(z)=a+ib,$ chegamos à expressão $f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y},$ no ponto $(x_0,y_0).$ Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada $f^{\prime }(z)$ de uma função $f=u+iv$ existe num ponto $z,$ então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a $x$ e $y,$ de cada componente $u$ e $v$ devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, $f^{\prime }(z)$ é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação $f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Bibliografia

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