Média aritmética-geométrica

Predefinição:Mais fontes Na matemática, a média aritmética-geométrica de dois números reais positivos x e y define-se da seguinte maneira: primeiro, obtém a média aritmética de x e y denominando-a a₁, i.e. a₁ = (x+y) / 2; depois, constrói-se a média geométrica g₁, i.e. g₁ a qual é a raiz quadrada de xy. Dessa forma, estabelece uma sequência: $a_{n+1}=\frac{a_n+g_n}{2}\text{e}{g}_{n+1}=\sqrt{a_n{g}_n}$. Ambas sequências convergem a um mesmo número, denominado média aritmética-geométrica M(x, y) de x e y.

Propriedades

Pode-se demonstrar ainda que: $M(x,y)=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}$,

onde K(x) é a integral elíptica de primeira espécie. Outra identidade interessante que envolve a média aritmética-geométrica estabelece da seguinte maneira: $\frac{1}{M(a,b)}=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}}$