Conjunto convexo

Um conjunto convexo.

Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região. Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas. O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.

Um conjunto côncavo.

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

$\mathrm{\forall }x,y\in X,\mathrm{\forall }t\in [0,1],(1-t)x+ty\in X$

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em $ℝ$ convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

Exemplos

• Espaços afins;
• Os sólidos platónicos;
• Os segmentos de recta;
• Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
• O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como $a_{\alpha }^T\le b_{\alpha },\alpha \in I$. Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares $Ax\le a$ para alguma matriz $A$ $m\times n$ é convexo e é chamado de poliedro;
• Uma $\epsilon$-vizinhança $X^{\epsilon }$ tal que $X^{\epsilon }=\{y:in{f}_{x\in X}\Vert y-x\Vert \le \epsilon \}$
• Todas bolas, abertas ou fechadas, no ${ℝ}^n$.Predefinição:Sfn

Combinação convexa

Uma combinação convexa de um conjunto de pontos $z_1,z_2,\dots ,z_n\in {ℝ}^m$ é um ponto $z\in {ℝ}^m$ que satisfaz $$z=\sum _{j=1}^n{t}_j{z}_j$$onde $t_j\ge 0,\sum _{j=1}^n{t}_j=1$

Por exemplo, para $m=2$, o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.

Um subconjunto $S\text{ de }{ℝ}^m$ é dito convexo se, para cada par de pontos $s\in S$, $S$ também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, $S$ é um conjunto convexo se $S$ contém todas combinações convexas de todos seus pontos.

Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

• $X$ é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a $X$ pertence a $X$.
• Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
• Se $C$ é um conjunto convexo e $X$ é uma variável aleatória que pertence a $C$ como probabilidade $1$. Então $𝔼[X]\in C$.

Operações que preservam convexidade

• Interseção: se $C_{\alpha },\alpha \in I$ são conjuntos convexos, então $\bigcup _{\alpha \in I}{C}_{\alpha }$ é convexo.
• Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se $C\in {ℝ}^n$ é convexo e $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ é afim, então $f\left(C\right)$ é convexa. Exemplos: se $C$ é convexo então $C+x_0$ (translação de $C$) e $\alpha C$ (multiplicação por um escalar) são convexos.
• Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ é afim e $C$ é convexo então $f^{-1}\left(C\right)=\{x:f(x)\in C\}$
• Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo: $C\in {ℝ}^{m+n}$ é convexo então $\mathrm{\Pi }=\{x_1\in {ℝ}^m:\mathrm{\exists }{x}_2\in {ℝ}^n,(x_1,x_2)\in C\}$ é convexo.
• Soma de dois conjuntos
• Produto cartesiano de dois conjuntos

Ver também

• Conjunto absolutamente convexo
• Curvas e Superfícies convexas

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro