Algoritmo de Chudnovsky

O algoritmo Chudnovsky, descoberto pelos matemáticos ucranianos David e Gregory Chudnovsky, é o mais utilizado para cálculos de alta precisão dos algarismos de π. Baseia-se em uma fórmula de Ramanujan e implementa uma série de convergência rápida após uma função hipergeométrica.

O algoritmo baseia-se no negado número de Heegner $d=-163$, a j-função $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3$ e com a seguinte rápida série convergente hipergeométrica generalizada

$\frac{1}{\pi }=12\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!{)}^3(640320^3{)}^{k+1/2}}.$

Note-se que $545140134=163$ × $3344418$ e,

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{163}}& =640320^3+743,9999999999992500725\dots \\ e^{\frac{\pi }{3}\sqrt{163}}& =640320,00000000060486373\dots \end{array}$

Essa identidade é semelhante a algumas das fórmulas de Ramanujan envolvendo π, e é um exemplo de uma série de Ramanujan-Sato.