Séries de Ramanujan–Sato

Na matemática, séries de Ramanujan-Sato generalizam fórmulas de pi de Ramanujan tais como, $$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{k{!}^4}\frac{26390k+1103}{396^{4k}}$$ para a forma, $$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}s(k)\frac{Ak+B}{C^k}$$ utilizando outras sequências bem definidas de inteiros $s(k)$, obedecendo uma certa relação de recorrência, sequências que podem ser expressas em termos de coeficientes binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, e $A,B,C$ empregando formas modulares de níveis mais elevados.

Ramanujan fez a enigmática observação de que havia "teorias correspondentes", mas foi apenas recentemente que H. H. Chan e S. Cooper encontraram uma abordagem geral que utilizava o subgrupo de congruência modular subjacente ${\mathrm{\Gamma }}_0(n)$, enquanto G. Almkvist descobriu experimentalmente vários outros exemplos também com um método geral utilizando operadores diferenciais.

Os níveis 1–4A foram fornecidos por Ramanujan (1914), o nível 5 por H. H. Chan e S. Cooper (2012), o nível 6A por Chan, Tanigawa, Yang e Zudilin, o nível 6B por Sato (2002), o nível 6C por H. Chan, S. Chan e Z. Liu (2004), o nível 6D por H. Chan e H. Verrill (2009), o nível 7 por S. Cooper (2012), parte do nível 8 por Almkvist e Guillera (2012), parte do nível 10 por Y. Yang, e o restante por H. H. Chan e S. Cooper.

A notação Predefinição:Math é derivada de Zagier e Predefinição:Math se refere às séries de McKay–Thompson relevantes.

Ver também

• Algoritmo de Chudnovsky
• Algoritmo de Borwein

Ligações externas

• Números de Franel
• Séries de McKay–Thompson
• Aproximações de Pi por meio da função eta de Dedekind

Predefinição:Esboço-matemática