Integral singular

Em matemática, as integrais singulares são centrais na análise harmônica e estão intimamente relacionadas com o estudo das equações diferenciais parciais. De modo geral, uma integral singular é um operador integral da forma:

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)dy,$

cuja função núcleo K : Rⁿ×Rⁿ → R é singular ao longo da diagonal x = y. Especificamente, a singularidade é tal que |K(x, y)| é assintoticamente de tamanho |x − y|⁻ⁿ  como |x − y| → 0. Uma vez que tais integrais não são em geral absolutamente integráveis, uma definição rigorosa deve defini-las como o limite da integral no domíno restrito a  |y − x| > ε quando ε → 0, mas na prática, isso é apenas uma tecnicalidade. Geralmente ainda são necessárias hipóteses para a obtenção de resultados, tais como a sua limitação em L^p(Rⁿ).

A transformada de Hilbert

O arquétipo do operador integral singular é a transformada de Hilbert H. É dada pela convolução com o kernel K(x) = 1/(πx) para x na reta real. Mais precisamente,

$H(f)(x)=\frac{1}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{|x-y|>\epsilon }{\int }\frac{1}{x-y}f(y)dy.$

A mais simples e direta extensão de maior dimensão  são as transformadas de Riesz ,que substitui o núcleo K(x) = 1/x , com

$K_i(x)=\frac{x_i}{|x{|}^{n+1}}$

onde i = 1, ..., n e ${\displaystyle }$ é o i-ésimo componente de x em Rⁿ. Todos esses operadores são limitados em L^p e satisfazem estimativas fracas do tipo (1, 1).

Integrais singulares do tipo convolução

Uma integral singular do tipo convolução é um operador T definido por convolução com um núcleo K que é localmente integrável em Rⁿ\{0}, no sentido de quePredefinição:NumBlkSuponha que o núcleo satisfaz:

1. A condição de tamanho sobre sua transformada de Fourier de K

$\hat{K}\in L^{\mathrm{\infty }}({𝐑}^n)$

2. A condição de suavidade: para algum C > 0,

$\underset{y\ne 0}{\sup }\underset{|x|>2|y|}{\int }|K(x-y)-K(x)|dx\le C.$

Então, pode-se mostrar que T é limitado em L^p(Rⁿ) e satisfaz  estimativa fraca do tipo (1, 1).

Propriedade 1. É necessário garantir que a convolução (Predefinição:EquationNote) com o distribuição temperada p.v. K dada pelo valor principal da integral

$\mathrm{p.v.}K[\varphi ]=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{|x|>ϵ}{\int }\varphi (x)K(x)dx$

é  multiplicador de Fourier bem definido em L². Nenhuma das propriedades 1 ou 2 é necessariamente fácil de verificar, mas diversas condições suficientes existem. Normalmente em aplicações, também se tem uma condição de cancelamento:

$\underset{R_1<|x|<R_2}{\int }K(x)dx=0,\mathrm{\forall }{R}_1,R_2>0$

o que é bastante fácil de verificar. Ele é automático, por exemplo, se K é uma função ímpar. Se, além disso, supõe-se a condição 2 e a seguinte condição de tamanho:

$\underset{R>0}{\sup }\underset{R<|x|<2R}{\int }|K(x)|dx\le C,$

então, pode-se mostrar que 1. segue.

A condição de suavidade 2. é também, muitas vezes, de difícil verificação a princípio. A seguinte condição suficiente pode ser usada:

• $K\in C^1({𝐑}^n\setminus \{0\})$
• $|\mathrm{\nabla }K(x)|\le \frac{C}{|x{|}^{n+1}}$

Observe que estas condições são satisfeitas para a transformada de Hilbert e Riesz transforma, de modo que este resultado é uma extensão dos resultados.

Integrais singulares de tipo não-convolucionais

Esta é uma classe de operadores ainda mais gerais. No entanto, diante destas hipóteses mais fracas, estes operadores nem sempre são limitados em L^p.

Núcleos de Calderón–Zygmund

Uma função K : Rⁿ×Rⁿ → R é dita ser um núcleo de Calderón–Zygmund  se ela satisfaz as seguintes condições para algumas constantes C > 0 e δ > 0.

$(a)|K(x,y)|\le \frac{C}{|x-y{|}^n}$

$(b)|K(x,y)-K(x^{\prime },y)|\le \frac{C|x-x^{\prime }{|}^{\delta }}{(|x-y|+|x^{\prime }-y|{)}^{n+\delta }}\text{ quando }|x-x^{\prime }|\le \frac{1}{2}\max (|x-y|,|x^{\prime }-y|)$

$(c)|K(x,y)-K(x,y^{\prime })|\le \frac{C|y-y^{\prime }{|}^{\delta }}{(|x-y|+|x-y^{\prime }|{)}^{n+\delta }}\text{ quando }|y-y^{\prime }|\le \frac{1}{2}\max (|x-y^{\prime }|,|x-y|)$

Integrais singulares não-convolucionais 

T é dito ser um operador integral singular não-convolucional associado ao núcleo de Calderón–Zygmund K se

$\int g(x)T(f)(x)dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)dydx,$

sempre que f e g são suaves e têm suporte disjunto. Tais operadores não precisam ser limitada em L^p

Operadores de Calderón–Zygmund

Uma integral singular não-convolucional T associada a um núcleo de Calderón–Zygmund  K é chamado de operador de Calderón–Zygmund  quando ele é limitado em L², isto é, existe um C > 0 tal que

$\Vert T(f){\Vert }_{L^2}\le C\Vert f{\Vert }_{L^2},$

para todas as funções ƒ suaves de suporte compacto.

Pode-se provar que tais operadores são, na verdade, também limitados em todo L^p com 1 < p < ∞.

A teorema T(b)

A teorema T(b) fornece condições suficientes para um operador integral singular ser um operador de Calderón–Zygmund, isto é, condições para que um operador integral singular associado a um núcleo de Calderón–Zygmund seja limitado em L². A fim de enunciar o resultado, é preciso primeiro definir alguns termos.

Um função de teste normalizada é uma função suave φ em Rⁿ  cujo suporte está contido uma esfera de raio 1 e centrada na origem tal que |∂^α φ(x)| ≤ 1, para todo multi-ī índice |α| ≤ n + 2. Denote por τ^x(φ)(y) = φ(y − x) e φ_r(x) = r⁻ⁿφ(x/r) para todo x em Rⁿ e r > 0. Um operador é dito fracamente limitado se existe uma constante C tal que

$|\int T({\tau }^x({\phi }_r))(y){\tau }^x({\psi }_r)(y)dy|\le C{r}^{-n}$

para todas as funções de teste normalizadas  φ e ψ. Uma função é dita ser acretiva se existe uma constante c > 0 tal que Re(b)(x) ≥ c para todo x em I. Denotar por M_b o operador dado pela multiplicação por uma função de b.

A teorema T(b) afirma que um operador integral singular T associado a um núcleo de Calderón–Zygmund  é limitado em L² se ele satisfaz todas as três condições que se seguem para duas funções acretivas limitadas quaisquer b₁ e b₂:

(a) é fracamente limitadas;

(b) é função de oscilação média limitada;

(c) é função de oscilação média limitada, onde T^t é a transposta do operador T.

Bibliografia

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