Milü

O nome Milü (chinês: 密 率, pinyin: mì lǜ; "relação detalhada"), também conhecido como Zulü (razão de Zu), é dado a uma aproximação de $\pi$ (pi) encontrada pelo matemático e astrônomo chinês Zǔ Chōngzhī (祖 沖 之). Ele computou $\pi$ para estar entre 3.1415926 e 3.1415927 e deu duas aproximações racionais de $\pi$, $22/7$ e $355/113$, Nomeando-os respectivamente Yuelü 约 率 (relação aproximada) e Milü.

Aproximações sucessivas para $\pi$.

$355/113$ é a melhor aproximação racional de $\pi$ com um denominador de quatro dígitos ou menos, com precisão de 6 casas decimais. Está dentro de 0.000009% do valor de $\pi$, ou em termos de frações comuns superestima $\pi$ em menos de $1/3748629$. O próximo número racional (ordenado pelo tamanho do denominador) que é uma melhor aproximação racional de $\pi$ é $52163/16604$, ainda apenas corrigir para 6 casas decimais e pouco mais perto de $\pi$ do que $355/113$. Para ser preciso com 7 casas decimais, é preciso ir até $86953/27678$. Para 8, precisamos de $102928/32763$.

$\pi \approx 3,1415926535...$

$355/113\approx 3,1415929203...$

$52163/16604\approx 3,1415923874...$

$86953/27678\approx 3,1415926006...$

Uma mnemônica fácil ajuda a memorizar esta fração útil, anotando cada um dos três primeiros números ímpares duas vezes: 1 1 3 3 5 5, dividindo o número decimal representado pelos últimos 3 dígitos pelo número decimal dado pelos três primeiros dígitos. Alternativamente, $1/\pi \approx 113/355$.

O matemático contemporâneo de Zu, He Chengtian (何承天), inventou um método de interpolação de frações chamado "harmonização do divisor do dia" para obter uma melhor aproximação adicionando iterativamente os numeradores e denominadores de uma fração "fraca" e uma fração "forte". Aproximação de Zu Chongzhi $\pi \approx 355/113$ pode ser obtida a partir do método de He Chengtian.

Ver também

• Dia do Pi
• Frações contínuas
• Constantes matemáticas