Raio de curvatura

Raio de curvatura e centro de curvatura

Na geometria diferencial, o raio de curvatura, Predefinição:Mvar, é o recíproco da curvatura . Para uma curva, é igual ao raio do arco circular que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para superfícies, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma seção normal ou a suas combinações .

Definição

O raio de curvatura é uma magnitude que mede a curvatura de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma variedade diferenciável imersa em um espaço euclidiano.

O raio de curvatura é matematicamente descrito por

$R=\frac{1}{|k|}$

onde $k$ é a curvatura de uma determinada função.

Se a curva é dada em coordenadas cartesianas como $y=f(x)$, e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado por

$R=\left|\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{y^{″}}\right|$

onde $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ e $y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
Caso a curva seja definida em equações paramétricas como $x(t)$ e $y(t)$, então o raio de curvatura é dado por

$R=\frac{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{|x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}|}$

onde $y^{\prime }=\frac{dy}{dt}$ e $x^{\prime }=\frac{dx}{dt}$, e também $x^{″}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ e $y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como

$R=\frac{{\left|{𝐫}^{\prime }\right|}^3}{|{𝐫}^{\prime }\times {𝐫}^{″}|}$

onde $𝐫$ é uma função vetorial definida por funções escalares de parâmetro $t$ nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

Fórmula

Se Predefinição:Math é uma curva parametrizada em Predefinição:Math então o raio de curvatura em cada ponto da curva, Predefinição:Math, é dado por $$\rho =\frac{{\left|{\mathit{\gamma }}^{\prime }\right|}^3}{\sqrt{{\left|{\mathit{\gamma }}^{\prime }\right|}^2{\left|{\mathit{\gamma }}^{″}\right|}^2-{({\mathit{\gamma }}^{\prime }\cdot {\mathit{\gamma }}^{″})}^2}}$$ Como um caso especial, se Predefinição:Math é uma função de Predefinição:Math a Predefinição:Math, então o raio de curvatura de seu gráfico, Predefinição:Math, é: $$\rho (t)=\frac{{|1+\{[f(t){]}^{\prime }{\}}^2|}^{\frac{3}{2}}}{|f^{″}(t)|}.$$ Derivação

Seja Predefinição:Math como acima, e corrija Predefinição:Mvar . Queremos encontrar o raio Predefinição:Mvar de um círculo parametrizado que corresponda a Predefinição:Math em suas derivadas zero, primeira e segunda em Predefinição:Mvar . Claramente, o raio não dependerá da posição Predefinição:Math, apenas da velocidade Predefinição:Math e da aceleração Predefinição:Math . Existem apenas três escalares independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math, a saber Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares |Predefinição:Math|², | Predefinição:Math|² e Predefinição:Math.

A equação geral para um círculo parametrizado em is Predefinição:Math é$$𝐠(u)=𝐚\cos h(u)+𝐛\sin h(u)+𝐜$$onde Predefinição:Math é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas), Predefinição:Math são vetores perpendiculares de comprimento Predefinição:Mvar (ou seja, Predefinição:Math² e Predefinição:Math ) Predefinição:Math é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em Predefinição:Mvar .

Os derivados relevantes de Predefinição:Math calculam-se como$$\begin{array}{cc}|{𝐠}^{\prime }{|}^2& ={\rho }^2(h^{\prime }{)}^2\\ {𝐠}^{\prime }\cdot {𝐠}^{″}& ={\rho }^2{h}^{\prime }{h}^{″}\\ |{𝐠}^{″}{|}^2& ={\rho }^2((h^{\prime }{)}^4+(h^{″}{)}^2)\end{array}$$

Se agora igualarmos essas derivadas de Predefinição:Math às derivadas correspondentes de Predefinição:Math at Predefinição:Mvar, obtemos$$\begin{array}{cc}|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t){|}^2& ={\rho }^{2}h{\text{'}}^2(t)\\ {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\cdot {\mathit{\gamma }}^{″}(t)& ={\rho }^2{h}^{\prime }(t)h^{″}(t)\\ |{\mathit{\gamma }}^{″}(t){|}^2& ={\rho }^2(h{\text{'}}^4(t)+h^{\prime }{\text{'}}^2(t))\end{array}$$

Essas três equações em três incógnitas ( Predefinição:Mvar, Predefinição:Math e Predefinição:Math ) podem ser resolvidas para Predefinição:Mvar, fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:

$\rho (t)=\frac{{|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)|}^3}{\sqrt{{|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)|}^2{|{\mathit{\gamma }}^{″}(t)|}^2-({\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\cdot {\mathit{\gamma }}^{″}(t){)}^2}}$

ou, omitindo o parâmetro Predefinição:Mvar para facilitar a leitura,$$\rho =\frac{{\left|{\mathit{\gamma }}^{\prime }\right|}^3}{\sqrt{{\left|{\mathit{\gamma }}^{\prime }\right|}^2{\left|{\mathit{\gamma }}^{″}\right|}^2-{({\mathit{\gamma }}^{\prime }\cdot {\mathit{\gamma }}^{″})}^2}}.$$

Exemplos

Uma elipse (vermelha) e sua evolução (azul). Os pontos são os vértices da elipse, nos pontos de maior e menor curvatura.

Semicírculos e círculos

$y=\sqrt{a^2-x^2},y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}},y^{″}=\frac{-a^2}{{(a^2-x^2)}^{\frac{3}{2}}},R=|-a|=a.$

Para um semicírculo de raio Predefinição:Mvar no semiplano inferior$$y=-\sqrt{a^2-x^2},R=|a|=a.$$ O círculo de raio Predefinição:Mvar tem um raio de curvatura igual a Predefinição:Mvar.

Elipses

Em uma elipse com o eixo maior Predefinição:Math e o eixo menor Predefinição:Math, os vértices no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, Predefinição:Math ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, Predefinição:Math .

Aplicações

• Geometria diferencial , consulte equação de Cesàro.
• Raio de curvatura da terra (aproximado por um elipsóide oblato), consulte Raio de curvatura da terra.
• Equações de flexão de vigas.
• Lentes e espelhos esféricos.

Estresse em estruturas semicondutores

O estresse na estrutura do semicondutor envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da temperatura ambiente.Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.

O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.

O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada. A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais.

Ver também

• Dioptria
• Curvatura
• Torção de uma curva
• Triedro de Frenet
• Curva

Leitura adicional

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• The Geometry Center: Principal Curvatures
• 15.3 Curvature and Radius of Curvature
• Predefinição:MathWorld
• Predefinição:MathWorld