Função vectorial

Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.

Gráfico da função vectorial r(t) = <Predefinição:Nowrap> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a Predefinição:Nowrap

Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo e de Análise Real.

Definição

Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,

$𝐟$ : I ⇒ R³; t ⇒ $𝐟\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}$ $=(f1(t),f2(t),f3(t)),$

em que:

- $f1(t)$, $f2(t)$, $f3(t)$ são as funções componentes de $f$;

- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;

- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial $v(t)$ como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões $𝐢$, $𝐣$ e $𝐤$ de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

• $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$;
• $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

onde $f(t)$, $g(t)$, $h(t)$ são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de $𝐫(t)$.

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

• $𝐫(t)=⟨f(t),g(t)⟩$;
• $𝐫(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$

Norma de uma Função Vectorial

Considerando uma função vetorial da forma:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:

|r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2

Limites e Continuidade

Dada uma função vetorial $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$ definimos o limite de $𝐫(t)$ quando $t$ tende a $t_0$ em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:

$\underset{t\to t_0}{\lim }𝐫(t):=(\underset{t\to t_0}{\lim }f(t))𝐢+(\underset{t\to t_0}{\lim }g(t))𝐣$

Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que $𝐫(t)$ é contínua em $t=t_0$ quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

• $t_0$ pertence ao domínio de $𝐫(t)$
• existe o $\underset{t\to t_0}{\lim }𝐫(t)$
• $\underset{t\to t_0}{\lim }𝐫(t)=𝐫(t_0)$

Dizemos que $𝐫(t)$ é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Derivadas

Dada uma função vetorial $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$ definimos a derivada de $𝐫(t)$ em relação a $t$ por:

${𝐫}^{\prime }(t)=\frac{d𝐫}{dt}(t)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{𝐫(t+h)-𝐫(t)}{h}$

Dizemos que $𝐫(t)$ é derivável (diferenciável) em $t=t_0$ quando ${𝐫}^{\prime }(t_0)$ existe. Além disso, dizemos que $𝐫(t)$ é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que ${𝐫}^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)𝐢+g^{\prime }(t)𝐣$. Além disso, vemos que $𝐫(t)$ é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$.

Regras de derivação

Sejam $𝐮(t)$ e $𝐯(t)$ funções vetoriais diferenciáveis, $𝐜$ um vetor constante, $f(t)$ uma função escalar diferenciável e $c$ um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

• $\frac{d𝐜}{dt}=0$
• $\frac{d}{dt}[c𝐮(t)]=c\frac{d𝐮(t)}{dt}$
• $\frac{d}{dt}[f(t)𝐮]=\frac{df(t)}{dt}𝐮(t)+f(t)\frac{d𝐮\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}}{dt}$
• $\frac{d}{dt}[𝐮(t)\pm 𝐯(t)]=\frac{d𝐮(t)}{dt}\pm \frac{d𝐯(t)}{dt}$
• $\frac{d}{dt}[𝐮(t)\cdot 𝐯(t)]=\frac{d𝐮(t)}{dt}\cdot 𝐯(t)+𝐮(t)\cdot \frac{d𝐯(t)}{dt}$
• $\frac{d}{dt}[𝐮(f(t))]=f^{\prime }(t){𝐮}^{\prime }(f(t))$

O ponto "$\cdot$" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial

Seja $𝐫(t)$ o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$ ou $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐣$ assume-se que a função ${𝐫}^{\prime }(t)$ é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.

Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a ${𝐫}^{″}(t)$, analogamente, corresponde à sua aceleração.

Integrais

Dada uma função vetorial $𝐫(t)$, definimos sua integral indefinida em relação a $t$ por:

$\int 𝐫(t)dt=𝐑(t)+𝐜$

onde $𝐑(t)$ é uma primitiva de $𝐫(t)$, i.e. ${𝐑}^{\prime }(t)=𝐫(t)$, e $𝐜$ é um vetor indeterminado.

Além disso, se $𝐑(t)$ é qualquer primitiva de $𝐫(t)$ no intervalo $[a,b]$, então a integral definida de $𝐫$ de $a$ a $b$ é dada por:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐫(t)dt=𝐑(b)-𝐑(a)$

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$ com $f(t)$ e $g(t)$ funções integráveis em $[a,b]$, então:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐫(t)dt=(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt)𝐢+(\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)dt)𝐣$.

Vale resultado análogo para $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$.

Categorias de Funções Vetoriais

Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.

Aplicação

O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.

Ver também

• Campo vectorial
• Parametrização
• Cálculo vectorial

Bibliografia

• STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
• AMARAL, Luis Fernando Coelho, Análise Vetorial, Universidade Federal do Maranhão.

Ligações externas

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