Torque

Predefinição:Mais notas Predefinição:Mecânica ClássicaPredefinição:Ver desambig O torque ou binário de forças, também conhecido como momento de alavanca ou momento de forças, é uma grandeza vetorial da física associada às forças que produzam rotação em um corpo. Por vezes também é chamado simplesmente de "momento", termo ambíguo que pode se referir a outras grandezas, como momento angular, momento linear e momento de inércia.

Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.

Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição $𝐫$ em que é aplicada a força $𝐅$:

$\mathit{\tau }=𝐫\times 𝐅$

História

Representação de uma balança com dois objetos de massas M₁ e M₂.

Predefinição:Artigo principal Assim como outros conceitos da mecânica clássica, o torque tem suas origens em problemas cotidianos, especialmente no uso das alavancas. As alavancas são máquinas simples que consistem essencialmente em uma barra com um ponto de apoio que facilita o movimento de objetos. O filósofo grego Arquimedes realizou estudos sobre tais máquinas e criou a teoria das alavancas. Ele percebeu que a força aplicada a uma das extremidades da alavanca, com o intuito de mover um objeto na outra extremidade, é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio. Ou seja, quanto mais distante a extremidade estiver do ponto de apoio, menor será a força necessária para mover o objeto. Nesse contexto histórico, Arquimedes ficou famoso ao afirmar que caso lhe dessem "um ponto de apoio e uma alavanca" seria capaz de "mover o mundo”.

Introdução

Definição em módulo

Decomposição da força F em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição r, F_⊥; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque.
Nesta imagem, o vetor torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.

Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F_||, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F_⊥, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo $F_{\perp }=F\mathrm{sen}(\theta )$. Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.

A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F_⊥, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é $r$. Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r_⊥ e cujo módulo é $r_{\perp }=r\mathrm{sen}(\theta )$. Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque ($\tau$) como o produto das duas grandezas de cada situação:

Definição de torque (módulo) $\tau =r{F}_{\perp }=r_{\perp }F=rF\mathrm{sen}(\theta )$

Definição vetorial

Relação dos vetores torque ($\mathit{\tau }$), força ($𝐅$), momento linear ($𝐩$), momento angular ($𝐋$) e posição ($𝐫$).

Inicialmente, define-se o torque

$\tau$

de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição

$𝐫$

(referido a uma origem

$O$

) e a força aplicada ao corpo nessa posição

$𝐅$

:

Definição de torque (vetorial) $\mathit{\tau }=𝐫\times 𝐅$

Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita. O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando $𝐫=(x,y,z)$, $𝐅=(F_x,F_y,F_z)$, e $𝐢$, $𝐣$ e $𝐤$ como os vetores unitários, respectivamente, nas direções $x$, $y$ e $z$, obtém-se a seguinte expressão:

$𝐫\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ x& y& z\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|$

Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

$\mathit{\tau }=\left|\begin{array}{cc}y& z\\ F_y& F_z\end{array}\right|𝐢-\left|\begin{array}{cc}x& z\\ F_x& F_z\end{array}\right|𝐣+\left|\begin{array}{cc}x& y\\ F_x& F_y\end{array}\right|𝐤$

$\mathit{\tau }=(y{F}_z-z{F}_y)𝐢-(x{F}_z-z{F}_x)𝐣+(x{F}_y-y{F}_x)𝐤=(y{F}_z-z{F}_y,z{F}_x-x{F}_z,x{F}_y-y{F}_x)$

Unidades

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Segunda lei de Newton para rotações

Eixo fixo

Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o torque resultante aplicado a um corpo rígido à aceleração angular a produzida por esse torque, faz-se a analogia com a segunda lei de Newton para translações ($F_{res}=ma$). No caso, o torque resultante ${\tau }_{res}$ é análogo à força resultante $F_{res}$, a aceleração angular $\alpha$ à aceleração $a$, e o momento de inércia $I$ à massa $m$. Desse modo, tem-se a seguinte equação:

2ª lei de Newton para rotações (eixo fixo) ${\tau }_{res}=I\alpha$

Demonstração

Predefinição:Div col Consideremos uma situação simples na qual uma partícula de massa $m$ gira em torno de um ponto central em uma órbita de raio $r$. Supondo que, mesmo sob a ação de uma força $𝐅$, a partícula esteja confinada a girar apenas em torno desse eixo, perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto central. A partícula, então, descreve uma trajetória circular acelerada em torno desse ponto. Como apenas a componente ${𝐅}_{\mathbf{\perp }}$ da força $𝐅$ produz torque, ele pode ser escrito, em módulo, como: $\tau =r{F}_{\perp }$ A força $F_{\perp }$ produz uma aceleração $a_{\perp }$ na direção tangente à trajetória circular. Então, pela segunda lei de Newton para translações: $F_{\perp }=m{a}_{\perp }$ Lembrando que a aceleração tangencial se relaciona à aceleração angular $\alpha$ por $a_{\perp }=\alpha r$, unem-se todas as equações para obter o seguinte resultado: $\tau =r{F}_{\perp }=r(m{a}_{\perp })=mr(\alpha r)=(m{r}^2)\alpha$ O fator $m{r}^2$ nessa equação é o momento de inércia $I$ associado a uma partícula. Portanto: $\tau =I\alpha$ Para generalizar essa equação para um corpo rígido de $n$ partículas que gira em torno de um eixo fixo, basta somar os torques sofridos por cada partícula. Como a aceleração angular é sofrida igualmente por todas as partículas, resulta que o torque resultante está relacionado ao momento de inércia do corpo rígido. Dessa forma: ${\tau }_{res}=\sum _{i=1}^n{\tau }_i=\sum _{i=1}^n{I}_i\alpha =(\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2)\alpha$ Como o momento de inércia $I$ do corpo rígido, como um todo, é tal que $I=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$, temos que: Predefinição:Div col fim ${\tau }_{res}=I\alpha$

Forma geral

Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um tensor, conhecido como o tensor de inércia.

2ª lei de Newton para rotações (forma geral) ${\mathit{\tau }}_{res}=𝐈\mathit{\alpha }\iff \left(\begin{array}{c}{\tau }_x\\ {\tau }_y\\ {\tau }_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_x\\ {\alpha }_y\\ {\alpha }_z\end{array}\right)$

Nesta equação matricial, cada entrada de $𝐈$ é denominada produto de inércia, dados pelas seguintes expressões sobre uma distribuição de massa de um corpo $C$: Predefinição:Div col

$I_{xx}=\underset{C}{\int }(y^2+z^2)dm$

$I_{yy}=\underset{C}{\int }(x^2+z^2)dm$

$I_{zz}=\underset{C}{\int }(x^2+y^2)dm$

$I_{xy}=I_{yx}=\underset{C}{\int }(-xy)dm$

$I_{xz}=I_{zx}=\underset{C}{\int }(-xz)dm$

$I_{yz}=I_{zy}=\underset{C}{\int }(-yz)dm$

Relação com o momento angular

O torque resultante (referido a uma particular origem $O$) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a derivada temporal do momento angular (referido à mesma origem). Considerando $𝐋$ como o vetor momento angular da partícula, escreve-se matematicamente:

2ª lei de Newton para rotações (momento angular) ${\mathit{\tau }}_{res}=\frac{d𝐋}{dt}$

Demonstração

Predefinição:Div col Tomando a definição de momento angular: $𝑳=𝐫\times 𝐩$ Em que $𝐩$ é o momento linear da partícula. Derivando essa expressão através da regra da cadeia, obtém-se: $\frac{d𝐋}{dt}=\frac{d}{dt}(𝐫\times 𝐩)=\frac{d𝐫}{dt}\times 𝐩+𝐫\times \frac{d𝐩}{dt}$ Pela segunda lei de Newton para translações, $\frac{d𝐩}{dt}={𝐅}_{res}$. Como $\frac{d𝐫}{dt}=𝐯$, a velocidade da partícula e $𝐯$ é paralelo a $𝐩$, $\frac{d𝐫}{dt}\times 𝐩=𝐯\times 𝐩=0$. Dessa forma: $\frac{d𝐋}{dt}=𝐫\times {𝐅}_{res}$ Logo: Predefinição:Div col fim ${\mathit{\tau }}_{res}=\frac{d𝐋}{dt}$

Equilíbrio de rotação

Predefinição:Artigo principal Diz-se que um corpo rígido (como uma alavanca, por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o vetor nulo.

Condição de equilíbrio de rotação ${\mathit{\tau }}_{res}=\sum _{i=1}^n{\mathit{\tau }}_i=\mathrm{𝟎}$

Exemplos envolvendo torque

Bloco pendurado por disco

Predefinição:Imagem dupla Tomemos um disco homogêneo, de massa $M$ e raio $R$, montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa $m$ pendurado por uma corda (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para translação e para rotação é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há atrito no eixo.

Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação ($F_{res}=ma$). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular $\alpha$ ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação (${\tau }_{res}=I\alpha$). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por $a$.

As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é $T$ e o peso do bloco é $P$, cujo módulo é $P=mg$. Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y ($F_{res,y}=m{a}_y$) como:

$F_{res}=ma⟹T-mg=ma$ $(1)$

Entretanto, não é possível obter o valor de $a$ usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita $T$. Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um sistema. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.

Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação $\tau =r{F}_{\perp }$. A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância $r=0$, de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força $T$ exercida pela corda sobre o disco age a uma distância $r=R$ do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque $\tau =-RT$, negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no sentido horário (lembrando que a regra da mão direita estabelece o sentido anti-horário de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é $I=M{R}^2/2$.

Assim, escreve-se a equação ${\tau }_{res}=I\alpha$ da seguinte forma:

${\tau }_{res}=I\alpha ⟹-RT=\frac{M{R}^2}{2}\alpha ⟹T=-\frac{1}{2}M\alpha R$

Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação $a=\alpha R$. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:

$T=-\frac{1}{2}Ma$ $(2)$

Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:

$-\frac{1}{2}Ma-mg=ma⟹(m+\frac{1}{2}M)a=-mg$

$a=-\frac{mg}{m+\frac{1}{2}M}=-\frac{g}{1+\frac{M}{2m}}$

Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):

$T=-\frac{1}{2}M(-\frac{mg}{m+\frac{1}{2}M})$

$T=\frac{Mmg}{2m+M}=\frac{g}{\frac{2}{M}+\frac{1}{m}}$

Por fim, pela definição de aceleração angular ($\alpha =a/R$) e pela definição de torque ($\tau =-RT$), utilizadas no problema, tem-se os valores dessas duas grandezas:

$\alpha =\frac{1}{R}(-\frac{mg}{m+\frac{1}{2}M})$

$\alpha =-\frac{mg}{R(m+\frac{1}{2}M)}=-\frac{g}{R(1+\frac{M}{2m})}$

$\tau =-R\left(\frac{Mmg}{2m+M}\right)$

$\tau =-\left(\frac{MmgR}{2m+M}\right)=-\frac{gR}{\frac{2}{M}+\frac{1}{m}}$

Cálculos de Forças

O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque $\tau$

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força $\overrightarrow{F}$ deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura ao lado mostra uma força $\overrightarrow{F}$ aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O vetor posição $\overrightarrow{r}$ do ponto P tem módulo r e faz um ângulo $\theta$ com a força $\overrightarrow{F}$ O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin $\theta$ e, portanto, o torque da força em relação a O é:

$\tau =Frsin\theta$

Repare que $(Fsin\theta )$ é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição $\overrightarrow{r}$ e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{F}$. No caso da soma das forças paralelas, o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, $({\tau }_1=F_1{d}_1)$ e $({\tau }_2=F_2{d}_2)$ os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças, do ponto S, é a força F, sem nenhum torque. É importante também ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por $\overrightarrow{F}$ quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{F}$. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores ${\overrightarrow{e}}_z$ e $-{\overrightarrow{e}}_z$ Assim, podemos definir o vetor torque $\overrightarrow{\tau }$ usando a expressão vetorial:

$\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$

em que $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ é, por definição, um vetor com módulo dado pela equação $\tau =Frsin\theta$ , direção perpendicular ao plano definido por $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{F}$ e sentido dado pela regra da mão direita: afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no sentido de $\overrightarrow{r}$ e o dedo médio no sentido de $\overrightarrow{F}$, o sentido de $\overrightarrow{\tau }$ é dado pelo dedo polegar. É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ e $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})$ são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}$ é sempre nulo. Em particular:

${\overrightarrow{e}}_x\times {\overrightarrow{e}}_x={\overrightarrow{e}}_y\times {\overrightarrow{e}}_y=0$

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles. Assim, temos que:

$({\overrightarrow{e}}_x\times {\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_z)$ e $(-{\overrightarrow{e}}_y\times {\overrightarrow{e}}_x={\overrightarrow{e}}_z)$ .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

$\overrightarrow{\tau }=\left|\begin{array}{cc}x& y\\ F_x& F_y\end{array}\right|{\overrightarrow{e}}_z=(x{F}_y-y{F}_x){\overrightarrow{e}}_z$

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.

Momento e Binários

Binário

Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço

$b$

),

$M_{\mathrm{O}}=Fb$

O momento $M_{\mathrm{O}}$ representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo $\overrightarrow{r}$ o vetor posição do ponto P em que a força $\overrightarrow{F}$ é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a $r\sin \theta$, em que o ângulo $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{F}$ (figura ao lado).

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

$M_{\mathrm{O}}=Fr\sin \theta$

Repare-se que ($F\sin \theta$) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição $\overrightarrow{r}$, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, $r$, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{O}}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$

O vetor ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{O}}$ representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{O}}$.

Um binário é um conjunto de duas forças $\overrightarrow{F}$ e $-\overrightarrow{F}$, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{Q}}\times \overrightarrow{F}-{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{P}}\times \overrightarrow{F}=({\overrightarrow{r}}_{\mathrm{Q}}-{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{P}})\times \overrightarrow{F}$

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor ${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$ na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

$\overrightarrow{M}={\overrightarrow{r}}_{\mathrm{P}\mathrm{Q}}\times \overrightarrow{F}$

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força $\overrightarrow{F}$ aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças $-\overrightarrow{F}$ e $\overrightarrow{F}$ nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário $\overrightarrow{M}$ com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, $M$ deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de $F$ pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, $\overrightarrow{M}={\overrightarrow{r}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{F}$.

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força $\overrightarrow{F}$ no ponto Q e o binário $\overrightarrow{M}={\overrightarrow{r}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}\times \overrightarrow{F}$ que é igual ao momento ${\overrightarrow{M}}_Q$ que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo $x$ e $y$ e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força $\overrightarrow{F}$ em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo $z$, dada pelo determinante,

$M_z=\left|\begin{array}{cc}x& y\\ F_x& F_y\end{array}\right|$

em que $x$ e $y$ são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força $\overrightarrow{F}$.

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de $M_z$ obtidos para cada força.

Ver também

• Impulso
• Movimento circular uniforme
• Binário do motor

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro