Produto de inércia

Predefinição:Sem-fontes Predefinição:Mecânica Clássica Em mecânica clássica, o produto de inércia mede a anti-simetria da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. A unidade de medida do produto de inércia no Sistema Internacional de Unidades é $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$.

Corpos rígidos com densidade variável

Em um corpo rígido os produtos de inércia são as componentes do tensor de inércia que localizam-se fora da diagonal principal. ${\left\{\widetilde{𝐈}\right\}}_{ij}\equiv I_{ij}i\ne j$

Suponha um corpo rígido que possua massa $M$, contenha $N$ partículas e seja descrito em um sistema com $p$ coordenadas, o tensor de inércia é dado por

$I_{ij}=\sum _{\alpha =1}^N{m}_{\alpha }({\delta }_i^j\sum _{n=1}^p{x}_{\alpha ,n}^2-x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j})(1)$

então para $i\ne j$

as componentes do tensor tornam-se

$I_{ij}=\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(-x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j})=-\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j}\right)\equiv -\sum _m\sum _n...\sum _q(\rho (x_m^1,x_n^2,...,x_q^p)x_m^1{x}_n^2...x_q^p)x_{m,n,..,q}^i{x}_{m,n,...,q}^j(2)$

onde $\rho \left(\overrightarrow{x}\right)=\rho$ é a densidade de massa.

$M=\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }=-\sum _m\sum _n...\sum _q(\rho (x_m^1,x_n^2,...,x_q^p)x_m^1{x}_n^2...x_q^p)(3)$

Separando-se a função em partições $\mathrm{\wp }$ e fazendo a norma da partição ficar pequena o suficiente obtém-se

$\underset{\Vert \mathrm{\wp }\Vert \to 0}{\lim }-\sum _m\sum _n...\sum _q(\rho (x_m^1,x_n^2,...,x_q^p)x_m^1{x}_n^2...x_q^p)x_{m,n,..,q}^i{x}_{m,n,...,q}^j=-\iint ...\int \rho \left(\overrightarrow{x}\right)x^i{x}^j{d}^{q}x(4)$

(note que $x^i{x}^j\equiv x_i{x}_j$)

utilizando o lado esquerdo da Equação (2) com o mesmo argumento que usamos para chegar à integral q-upla em (4), obtemos o mesmo resultado.

$\underset{\Vert \mathrm{\wp }\Vert \to 0}{\lim }-\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j}\right)=-\int x^i{x}^{j}dm\equiv -\int x_i{x}_{j}dm(5)$

que é o produto de inércia no referido sistema de coordenadas. Para o sistema de coordenadas cartesiano, por exemplo, a integral acima se reduz à uma integral de volume (tripla)

$I_{ij}=\underset{C}{\int }{x}_i{x}_{j}dm\equiv \underset{Q}{\iiint }{x}_i{x}_j\rho (x_1,x_2,x_3)d^{3}x(6)$

Eixos principais de inércia

Fixando-se arbitrariamente uma origem O em qualquer sistema material S, existe um referencial ortogonal Oxyz tal que:

$I_{xy}=I_{yz}=I_{zx}$

Estes eixos são denominados eixos principais de inércia em relação a origem $𝒪$.

Caso $𝒪$ seja coincidente com o centro de gravidade ${\overrightarrow{g}}_{{}_{eff}}$, os eixos principais de inércia são também chamados de eixos centrais de inércia.

Ver também

• Momento de inércia
• Quantidade de movimento angular
• Impulso