Curvatura

Predefinição:Mais-notas Ficheiro:Cell-Shape-Dynamics-From-Waves-to-Migration-pcbi.1002392.s007.ogv Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

História

A curvatura de uma curva diferenciável foi originalmente definida através de círculos osculantes . Nesse cenário, Augustin-Louis Cauchy mostrou que o centro da curvatura é o ponto de interseção de duas linhas normais infinitamente próximas da curva.

Geometria diferencial

Diferentes curvaturas.

Seja C o gráfico de uma função vetorial, no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em função do comprimento de arco. A ideia de curvatura está ligada à variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco s. O vetor tangente T varia somente em direção, visto que tem comprimento constante de norma unitária. Se C for uma reta, a direção de T permanece constante e dizemos então que tem curvatura nula. Note também que um círculo terá curvatura constante, já que o raio da curvatura do círculo é constante.

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional parametrizada pelo comprimento do arco, então a curvatura de C, é uma função escalar denotada por $\kappa =\kappa (s)$(onde κ é a letra grega kappa) e é definida por:

$\kappa (s)=\Vert \frac{dT}{ds}\Vert =\Vert r^{″}(s)\Vert$

Observe que $\kappa (s)$é uma função real de s, uma vez que é o comprimento de $d\overrightarrow{T}/ds$ que mede a curvatura.

Temos que $d\overrightarrow{T}/ds$ é paralelo ao vetor normal $\overrightarrow{N}$, ou seja

$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\kappa \overrightarrow{N}$, onde $\kappa (t)>0$

Os vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhada) e a alteração em Predefinição:Math : Predefinição:Math Predefinição:Mvar é a distância entre os pontos. No limite Predefinição:Math estará na direção Predefinição:Math e a curvatura descreve a velocidade de rotação do quadro.

Fórmulas Frenet – Serret para curvas planas

A expressão da curvatura Em termos de parametrização no comprimento do arco, é essencialmente a primeira fórmula de Frenet – Serret:

${𝐓}^{\prime }(s)=\kappa (s)𝐍(s),$

onde os primos se referem às derivadas em relação ao comprimento do arco Predefinição:Mvar, e Predefinição:Math é o vetor unitário normal na direção de Predefinição:Math .

Como as curvas planares têm torção zero, a segunda fórmula de Frenet-Serret fornece a relação

$\begin{array}{cc}\frac{d𝐍}{ds}& =-\kappa 𝐓,\\ & =-\kappa \frac{d\mathit{\gamma }}{ds}.\end{array}$

Para uma parametrização geral por um parâmetro Predefinição:Mvar, é necessário expressões envolvendo derivadas em relação a Predefinição:Mvar . Como estes são obtidos pela multiplicação por $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ dos derivados em relação a Predefinição:Mvar, é necessário, para qualquer parametrização adequada

${𝐍}^{\prime }(t)=-\kappa (t){\mathit{\gamma }}^{\prime }(t).$

Curva C. No ponto P, C se curva fortemente, no ponto Q o encurvamento é praticamente nulo e no ponto R a curva C curva-se levemente.

A curvatura em termos de um parâmetro qualquer t

Seja $\overrightarrow{r}(t)$ uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional. A curvatura $\kappa$pode ser determinada por:

$\kappa (t)=\frac{\Vert \overrightarrow{T^{\prime }}(t)\Vert }{\Vert \overrightarrow{r^{\prime }}(t)\Vert }$

$\kappa =\frac{\sqrt{{(z^{″}{y}^{\prime }-y^{″}{z}^{\prime })}^2+{(x^{″}{z}^{\prime }-z^{″}{x}^{\prime })}^2+{(y^{″}{x}^{\prime }-x^{″}{y}^{\prime })}^2}}{{({x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2+{z^{\prime }}^2)}^{\frac{3}{2}}},$

$\kappa =\frac{\Vert \overrightarrow{r^{\prime }}\times \overrightarrow{r^{″}}\Vert }{\Vert \overrightarrow{r^{\prime }}{\Vert }^3}$

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto $P(x,y)$ é $\kappa =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }s\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }s}$, onde $\mathrm{\Delta }s$ é o comprimento da curva entre o ponto $P(x,y)$ e um ponto $Q(x,y)$, também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. $\mathrm{\Delta }\theta$ é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

Interpretação da curva no espaço bidimensional:

$k=\frac{|d\mathrm{\Phi }|}{|ds|}$

A curvatura no espaço bidimensional pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até o vetor tangente unitário) com relação à posição s. Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a s. No caso de uma reta, o ângulo é constante e, consequentemente, a curvatura é nula.

Curvas de espaço

Animação da curvatura e do vetor de aceleração Predefinição:Math

Como no caso de curvas em duas dimensões, a curvatura de uma curva espacial regular Predefinição:Mvar em três dimensões (e superior) é a magnitude da aceleração de uma partícula que se move com a velocidade unitária ao longo de uma curva. Assim, se Predefinição:Math é a parametrização de Predefinição:Mvar comprimento do arco, o vetor tangencial unitário Predefinição:Math é dado por

$𝐓(s)={\mathit{\gamma }}^{\prime }(s)$

e a curvatura é a magnitude da aceleração:

$\kappa (s)=\Vert {𝐓}^{\prime }(s)\Vert =\Vert {\mathit{\gamma }}^{″}(s)\Vert .$

A direção da aceleração é o vetor normal de unidade Predefinição:Math, definido por

$𝐍(s)=\frac{{𝐓}^{\prime }(s)}{\Vert {𝐓}^{\prime }(s)\Vert }.$

O plano que contém os dois vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math é o plano osculador da curva em Predefinição:Math . A curvatura tem a seguinte interpretação geométrica. Existe um círculo no plano osculador tangente a Predefinição:Math cuja série de Taylor para segunda ordem no ponto de contato concorda com a de Predefinição:Math . Este é o círculo de curvatura para a curva. O raio do círculo Predefinição:Math é chamado raio de curvatura e a curvatura é recíproca do raio de curvatura:

$\kappa (s)=\frac{1}{R(s)}.$

A tangente, a curvatura e o vetor normal juntos descrevem o comportamento de segunda ordem de uma curva perto de um ponto. Em três dimensões, o comportamento de terceira ordem de uma curva é descrito por uma noção relacionada de torção, que mede a extensão em que uma curva tende a se mover em um caminho helicoidal no espaço. A torção e a curvatura são relacionadas pelo Triedro de Frenet (em três dimensões) e sua generalização (em dimensões mais altas).

Círculo de curvatura ilustrando as propriedades da curvatura.

Raio de Curvatura

Em geral, se uma curva C no espaço bidimensional tem curvatura $\kappa$não nula no ponto P, então o círculo de raio $\rho =1/\kappa$ que tangencia a curva C no ponto P e centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. Nesse ponto P, além de o círculo e a curva se tangenciarem, ambos têm a mesma curvatura. O círculo de curvatura em P é o círculo que melhor aproxima a curva C na vizinhança de P.

Curvatura na física

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Ver também

• Dioptria
• Raio de curvatura
• Torção de uma curva
• Triedro de Frenet
• Aplicação de Gauss
• Evoluta
• Círculo de curvatura

Notas

• Predefinição:Citar periódico
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Ligações externas

• A História da Curvatura
• Curvatura, Intrínseca e Extrínseca em MathPages