Evoluta

Uma elipse (azul) e sua evoluta (verde).

A evoluta de uma curva (neste caso, uma elipse) é o envelope de suas normais.

Na geometria diferencial de curvas, a evoluta de uma curva é o lugar geométrico de todos suas circunferências osculatrizes (centros de curvatura).

A evoluta de uma curva (parábola azul) é o lugar geométrico de todos os seus centros de curvatura (vermelho).

Isso significa que, quando o centro de curvatura de cada ponto de uma curva é desenhado, a forma resultante será a evoluta dessa curva. A evoluta de um círculo é, portanto, um único ponto em seu centro. Equivalente a isso, uma evoluta é o invólucro das normais a uma curva.

A evoluta de uma curva, uma superfície ou, mais geralmente, de uma subvariedade é a cáustica do mapa normal. Seja Predefinição:Mvar uma subvariedade regular e suave em Predefinição:Math. Para cada ponto Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar e cada vetor Predefinição:Math, baseado em Predefinição:Mvar e normal a Predefinição:Mvar, associamos o ponto Predefinição:Math. Isso define um mapa lagrangiano, chamado de mapa normal. A cáustica do mapa normal é a evoluta de Predefinição:Mvar.

As evolutas estão intimamente ligadas às involutas: uma curva é a evoluta de qualquer uma de suas involutas.

História

Apollonius (Cerca de 200 a.C.) discutiu evolutas no Livro V de sua obra Cônicas. Contudo, Huygens é, por vezes, creditado como o primeiro a estudá-las (1673). Huygens formulou sua teoria das evolutas por volta de 1659 para ajudar a resolver o problema de encontrar a curva tautócrona, o que, por sua vez, o auxiliou na construção de um pêndulo isócrono. Isso ocorreu porque a curva tautócrona é uma cicloide, e a cicloide tem a propriedade única de que sua evoluta também é uma cicloide. A teoria das evolutas, na verdade, permitiu a Huygens alcançar muitos resultados que mais tarde seriam encontrados utilizando cálculo.

Evoluta de uma curva paramétrica

Se $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}(t),t\in [t_1,t_2]$ é a representação paramétrica de uma curva regular no plano com curvatura diferente de 0 e $\rho (t)$ seu raio de curvatura e $\overrightarrow{n}(t)$ a unidade normal apontando para o centro de curvatura, então $$\overrightarrow{E}(t)=\overrightarrow{c}(t)+\rho (t)\overrightarrow{n}(t)$$ descreve a evoluta da curva dada.

Para $\overrightarrow{c}(t)=(x(t),y(t){)}^{𝖳}$ e $\overrightarrow{E}=(X,Y{)}^{𝖳}$, obtém-se $$X(t)=x(t)-\frac{y^{\prime }(t)(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)}{x^{\prime }(t)y^{″}(t)-x^{″}(t)y^{\prime }(t)}$$ e $$Y(t)=y(t)+\frac{x^{\prime }(t)(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)}{x^{\prime }(t)y^{″}(t)-x^{″}(t)y^{\prime }(t)}.$$

Propriedades da evoluta

A normal no ponto P é a tangente no centro de curvatura C.

Para derivar propriedades de uma curva regular, é vantajoso usar o comprimento do arco $s$ como parâmetro da curva dada, por conta de $\left|{\overrightarrow{c}}^{\prime }\right|=1$ e ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=-{\overrightarrow{c}}^{\prime }/\rho$ (ver Fórmulas de Frenet–Serret). Assim, o vetor tangente da evoluta $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{c}+\rho \overrightarrow{n}$ é: $${\overrightarrow{E}}^{\prime }={\overrightarrow{c}}^{\prime }+{\rho }^{\prime }\overrightarrow{n}+\rho {\overrightarrow{n}}^{\prime }={\rho }^{\prime }\overrightarrow{n}.$$ A partir dessa equação, obtém-se as seguintes propriedades da evoluta:

• Em pontos com ${\rho }^{\prime }=0$, a evoluta não é regular. Ou seja: em pontos de curvatura máxima ou mínima (vértices da curva dada), a evoluta possui cúspides. (Ver os diagramas das evolutas da parábola, da elipse, da cicloide e da nefroide.)
• Para qualquer arco da evoluta que não inclua uma cúspide, o comprimento do arco é igual à diferença entre os raios de curvatura nos pontos extremos. Esse fato leva a uma prova fácil do teorema de Tait–Kneser sobre aninhamento de círculos osculadores.
• As normais da curva dada em pontos de curvatura diferente de zero são tangentes à evoluta, e as normais da curva em pontos de curvatura zero são assíntotas da evoluta. Portanto: a evoluta é o invólucro das normais da curva dada.
• Em trechos da curva com ${\rho }^{\prime }>0$ ou ${\rho }^{\prime }<0$, a curva é uma involuta de sua evoluta.

Cicloide (azul), seu círculo osculador (vermelho) e sua evoluta (verde).

A evoluta da nefroide grande (azul) é a nefroide pequena (vermelha).

Evolutas de algumas curvas

A evoluta

• de uma parábola é uma parábola semicúbica (ver acima),
• de uma elipse é uma asteroide não simétrica (ver acima),
• de uma linha é um ponto,
• de uma nefroide é uma nefroide (metade do tamanho, veja o diagrama),
• de uma astroide é uma astroide (duas vezes maior),
• de uma cardioide é uma cardioide (um terço do tamanho),
• de um círculo é o seu centro,
• de uma deltoide é uma deltoide (três vezes maior),
• de uma cicloide é uma cicloide congruente,
• de uma espiral logarítmica é a mesma espiral logarítmica,
• de uma tractriz é uma catenária.

Curva radial

Uma curva com uma definição semelhante é a radial de uma dada curva. Para cada ponto na curva, tome o vetor do ponto até o centro de curvatura e o traduza para que comece na origem. Em seguida, o lugar geométrico dos pontos no final de tais vetores é chamado de radial da curva. A equação para a radial é obtida removendo-se os termos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar da equação da evoluta. Isso produz: $$(X,Y)=(-y^{\prime }\frac{{x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},x^{\prime }\frac{{x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }}).$$