Astroide

Um astroide.

A construção do astroide.

O astroide sendo representado como um envelope comum de uma família de elipses traçadas, onde a + b = const.

Um astroide é um tipo específico de curva matemática: uma hipocicloide com quatro vértices. Especificamente, é o lugar geométrico de um ponto num círculo que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num raio. Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.

O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco Joseph Johann von Littrow em 1838. A curva possui vários nomes, que incluem tetracúspide (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à evoluta de uma elipse.

Equações

Se o raio do círculo fixo for a, então a equação é feita por:

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.$

Isto implica que um astroide é também uma superelipse.

As equações paramétricas são:

$x=a{\cos }^{3}t=\frac{a}{4}(3\cos t+\cos 3t),$

$y=a{\sin }^{3}t=\frac{a}{4}(3\sin t-\sin 3t).$

Uma equação pedal em relação à origem é:

$r^2=a^2-3p^2,$

A equação de Whewell é:

$s=\frac{3a}{4}\cos 2\phi ,$

E a equação de Cesàro é:

$R^2+4s^2=\frac{9a^2}{4}.$

A equação polar é:

$r=\frac{a}{({\cos }^{2/3}\theta +{\sin }^{2/3}\theta {)}^{3/2}}.$

O astroide é um lugar geométrico real de uma curva algébrica plana de género zero. Tem a seguinte equação:

$(x^2+y^2-a^2{)}^3+27a^2{x}^2{y}^2=0.$

O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.

Derivação da equação polinomial

A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.$

Em ambos os lados do cubo:

$x^{6/3}+3x^{4/3}{y}^{2/3}+3x^{2/3}{y}^{4/3}+y^{6/3}=a^{6/3}$

$x^2+3x^{2/3}{y}^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})+y^2=a^2$

$x^2+y^2-a^2=-3x^{2/3}{y}^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})$

Em ambos os lados do cubo de novo:

$(x^2+y^2-a^2{)}^3=-27x^2{y}^2(x^{2/3}+y^{2/3}{)}^3$

Mas desde que:

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

Siga assim:

$(x^{2/3}+y^{2/3}{)}^3=a^2.$

Sendo:

$(x^2+y^2-a^2{)}^3=-27x^2{y}^2{a}^2$

ou:

$(x^2+y^2-a^2{)}^3+27x^2{y}^2{a}^2=0.$

Propriedades métricas

Uma área envolvente

$\frac{3}{8}\pi a^2$

Comprimento da curva

$6a$

O volume da superfície de revolução da área envolvente sobre o eixo x.

$\frac{32}{105}\pi a^3$

A área da superfície de revolução sobre o eixo x

$\frac{12}{5}\pi a^2$

Propriedades

O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.

A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: $x^2{y}^2=x^2+y^2.$ A evoluta de um astroide é duas vezes maior.

Ver também

• Cardioide
• Nefroide
• Curva deltoide
• Astroide de Stoner–Wohlfarth

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Ligações externas

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