Hipocicloide

A Hipocicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola, sem deslizar, dentro de um círculo diretor.

Definição Matemática

Uma Hipocicloide pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:

$f(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos (\frac{R-r}{r}\theta )(1)$

$g(\theta )=(R-r)\mathrm{sen}\theta -r\mathrm{sen}(\frac{R-r}{r}\theta )(2)$

em que $R,$ é o raio do círculo base e $r,$ o raio do círculo rolante. Com $k=\frac{R}{r}$, este sistema também pode ser escrito:

$f(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos ((k-1)\theta )$

$g(\theta )=r(k-1)\mathrm{sen}\theta -r\mathrm{sen}((k-1)\theta ).$

Evoluta da Hipocicloide

Evoluta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5.

Na geometria diferencial de curvas, a evoluta da curva é o local de todos os seus centros de curvatura. A evoluta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A evoluta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:

$X_e(\theta )=f(\theta )-\frac{(f{\text{'}}^2(\theta )+g{\text{'}}^2(\theta ))g^{\prime }(\theta )}{f^{\prime }(\theta )g^{″}(\theta )-f^{″}(\theta )g^{\prime }(\theta )}$

$Y_e(\theta )=g(\theta )-\frac{(f{\text{'}}^2(\theta )+g{\text{'}}^2(\theta ))f^{\prime }(\theta )}{f^{\prime }(\theta )g^{″}(\theta )-f^{″}(\theta )g^{\prime }(\theta )}$

Involuta da Hipocicloide

Involuta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5

A involuta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A involuta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:

$X_i(\theta )=f(\theta )-\frac{s{f}^{\prime }(\theta )}{\sqrt{f{\text{'}}^2(\theta )+g{\text{'}}^2(\theta )}}$

$Y_i(\theta )=g(\theta )-\frac{s{g}^{\prime }(\theta )}{\sqrt{(f{\text{'}}^2(\theta )+g{\text{'}}^2(\theta )}}$

em que $s$ pode ser calculado da seguinte forma:

$s=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{f{\text{'}}^2(\theta )+g{\text{'}}^2(\theta )}d\theta$

Encurtada

Hipocicloide Encurtada

Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide encurtada, como na figura ao lado (curva vermelha).

Alongada

Hipocicloide Alongada

Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide alongada, como na figura ao lado (curva vermelha).

Exemplos

• Exemplos de hipocicloides
• 
  k=3 - uma deltóide
• 
  k=4 - uma astróide
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

Ver também

• Lista de construções do desenho geométrico

Ligações externas

• [1] Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24-07-2011.
• [2] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.