Equação paramétrica

Um exemplo de desenho criado a partir de equações paramétricas é a curva da borboleta

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: $r^2=x^2+y^2,$ um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:

$x=r\cos t$

$y=r\mathrm{sen}t,$

Um exemplo da utilidade das equações paramétricas está na cinemática, onde esse tipo de equação serve para descrever a trajetória que um objeto pode assumir ao longo do tempo, este último serve como parâmetro da equação.

A noção de equação paramétrica tem sido generalizada para superfícies e variedades de mais dimensões, com o número de parâmetros igual ao número de dimensões e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o distribuidor ou variedade é considerado. Nas curvas por exemplo um parâmetro é usado, sendo a dimensão igual a um, enquanto em superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros são utilizados.

Aplicações

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como:

$r(t)=(x(t),y(t),z(t)),$

a qual pode ser escrita também como:

$r(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}.$

A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:

$r^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t)+y^{\prime }(t)+z^{\prime }(t))$

escrevendo na forma vetorial, obtemos:

$r^{\prime }(t)=x^{\prime }(t)\overrightarrow{i}+y^{\prime }(t)\overrightarrow{j}+z^{\prime }(t)\overrightarrow{k}$

Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:

$r^{″}(t)=(x^{″}(t),y^{″}(t),z^{″}(t))$

na forma vetorial, temos:

$r^{″}(t)=x^{″}(t)\overrightarrow{i}+y^{″}\overrightarrow{j}+z^{″}\overrightarrow{k}$

Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulos.

Exemplos em duas dimensões

Parábola

Parábola

A equação de uma parábola não parametrizada é

$f(x)=x^2$

a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo $-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }.$ como:

$x=t$ e $y=t^2$

Círculo

Círculo

A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é:

$x^2+y^2=1$
para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de $0\le t\le 2\pi :$

$(x,y)=(cos(t),sen(t))$

ou se preferirmos podemos escrever na forma:

$x=cos(t)$ e $y=sen(t)$

Hipérbole

• Hipérbole de abertura leste-oeste:

Hipérbole

A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é:

$\frac{{(x-h)}^2}{a^2}-\frac{{(y-k)}^2}{b^2}=1$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como:

$\begin{array}{cc}x& =a\sec t+h\\ y& =b\tan t+k\end{array}$

• Hipérbole de abertura norte-sul:

A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é:

$\frac{{(y-k)}^2}{a^2}-\frac{{(x-h)}^2}{b^2}=1$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:

$\begin{array}{c}x=b\tan t+h\\ y=a\sec t+k\end{array}$

sendo (h,k) o centro da hipérbole, 'a' o semi-eixo real, isto é, metade da distância entre os ramos, e 'b' o semi-eixo imaginário.

Elipse

Elipse

A curva no plano cartesiano de uma elipse é:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para:

${\left(\frac{x-h}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y-k}{b}\right)}^2=1,$

sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse.

A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula:

$x=acos(t)$e $y=bsen(t)$

Enquanto, a equação paramétrica geral dessa mesma curva pode ser dada, por:

$x=Xc+acos(t)cos(\phi )-bsen(t)sen(\phi )$

$y=Yc+acos(t)sen(\phi )+bsen(t)cos(\phi )$

t varia de $0\le t\le 2\pi ,$ Xc e Yc representam o centro da elipse e $\phi$ é o ângulo entre eixo x e o maior eixo da elipse.

Exemplo em três dimensões

Hélice

Hélice

A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:

$\begin{array}{cc}x& =a\cos (t)\\ y& =a\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(t)\\ z& =bt\end{array}$

Em coordenadas cilíndricas, essas equações são escritas da seguinte forma:

$r=1$

$\theta =t$

$h=t$

Ligações externas

• Modeling Human Erythrocyte Shape and Size Abnormalities