Toro (topologia)

Animação Toróide

Toro ou toróide é um espaço topológico homeomorfo ao produto de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de uma câmara de pneu. Em geometria, pode ser definido como o lugar geométrico tridimensional formado pela rotação de uma superfície circular plana de raio r, em torno de uma circunferência de raio R.

Formas de construir um toro

• Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
• Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.

Geometria

Um toro pode ser imerso no ${ℝ}^3$ como uma superfície algébrica do quarto grau.

Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:

$x(u,v)=(R+r\cos v)\cos u$

$y(u,v)=(R+r\cos v)\sin u$

$z(u,v)=r\sin v$

em que

u, v estão no intervalo [0, 2π],

R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,

r é o raio do tubo.

Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2=r^2,$

eliminando a raiz quadrada, chega-se a:

$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2{)}^2=4R^2(x^2+y^2).$

A área da superfície e o volume do interior são dados por:

$A=4{\pi }^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)$

$V=2{\pi }^{2}R{r}^2=\left(\pi r^2\right)\left(2\pi R\right).$

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro, em que sua altura é o equivalente à circunferência média do toro $(2\pi R)$ e o raio da base equivalente ao raio da seção transversal do toro $(r)$. Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.

Propriedades topológicas

Predefinição:Revisão-sobre O toro é uma superfície topológica compacta, conexa e orientável, que pode ser representada por um polígono (no caso, quadrado) com uma orientação nas arestas. Esta orientação representa a identificação das arestas. Uma possível triangulação do toro é dada pela figura abaixo, na qual o toro é representado pelo quadrado com os lados identificados .

Triangulação do Toro

Podemos também triangularizar o bitoro, que é uma soma conexa de dois toros, triangularizando a região poligonal que o representa, que é um polígono com uma orientação nas arestas. Esta orientação determina como as arestas devem ser coladas para formar a figura topológica. Uma possível triangulação do bitoro é dada pela figura abaixo:

Bitoro

Triangulação do Bitoro

Ver também

• Esfera
• Superfície

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ligações externas

• Creation of a torusem Cut-the-Knot
• "4D torus"Fly-through cross-sections of a four dimensional torus.
• "Relational Perspective Map"Visualizing high dimensional data with flat torus.
• "Torus Games"Free downloadable games for Windows and Mac OS X that highlight the topology of a torus.
• Polydos Predefinição:Wayback
• Hatcher, 2002

Galeria

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  Superfície tórica
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  Caixa d'água toroidal na Polônia
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