Cilindro

Um cilindro.

Em Geometria, um cilindro é o objeto tridimensional delimitado pela superfície de translação completa de um segmento de reta que se move paralelamente a si mesmo, e se apoia em uma circunferência. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aparência redonda, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. Ao considerar-se um prisma de base regular, e fazer o número de lados/vértices da base tender ao infinito, o prisma tenderá a um cilindro.

Elementos

Os elementos do cilindro são

• Duas bases: são dois círculos congruentes e paralelos.
• Geratrizes: segmentos congruentes e paralelos entre os pontos da circunferência de uma base e os pontos correspondentes na outra base.
• Altura: distância entre os planos das bases.

Classificação

Os cilindros podem ser divididos em duas categorias, referentes ao ângulo entre a sua altura e o plano da base:

• Reto: se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases;
• Oblíquo: se as geratrizes são oblíquas (não-perpendiculares) aos planos das bases.

E, referente à relação entre a altura e o raio da base, apenas uma categoria relevante de classificação:

• Equilátero: é todo cilindro reto em que a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja$$g=h=2r$$Assim, a secção meridiana é um quadrado.

Área e volume

Cilindro reto

Para um cilindro reto de raio $r$ e altura $h$,

• O volume é: $V=\pi r^{2}h$

• A área da base circular é igual à área de um círculo, $A_B=\pi r^2$, e a área lateral é $A_L=2\pi rh$

• A área total de sua superfície é $A_T=2A_B+A_L$, ou seja: $A_T=2\pi r(h+r)$

Otimização

Área mínima

Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área.

Seja um cilindro reto de raio $r$, altura $h$ e volume fixo $V$. A condição para que a área seja mínima é $h=2r$.

Inicialmente, o volume é dado por:$$V=\pi r^{2}h$$Em seguida, a área em função de $r$ e $V$ é:
$$A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$$Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de $r$ vai para $\mathrm{\infty }$ quanto para $0$. Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será um ponto crítico, quando a derivada for nula:
$$\begin{array}{cc}A(r)& =2\pi r^2+\frac{2V}{r}\\ A^{\prime }(r)& =4\pi r-\frac{2V}{r^2}\\ A^{\prime }(r)& =0\iff 4\pi r=\frac{2V}{r^2}\iff V=2\pi r^3\end{array}$$Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume:$$\pi r^{2}h=2\pi r^3$$Logo,$$h=2r$$Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é o cilindro equilátero, em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente a maximizar o volume, dada uma área fixa.

Ver também

• Cone

Ligações externas

• Predefinição:Citar livro