Cone

Um cone.

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

Classificação

Os cones podem ser divididos em:

• Reto;
• Oblíquo;
• Equilátero.

Reto

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas

O volume,

$V$

, de um cone de altura,

$h$

, e base com raio,

$r$

, é

$1/3$

do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a

$1/4$

da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone

$A$

é dada por:

$A=\pi r(r+g)$

onde,

$g=\sqrt{r^2+h^2}$

é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula,

$\pi r^2$

é a área da base, enquanto que o segundo termo

$\pi rg$

é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

_{$A=\pi r\cdot g+\pi r^2$}

Com uso de cálculo integral

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura

$h$

e raio

$r$

corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

$y=\frac{r}{h}x$

em torno do eixo

$x$

.

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

$A=\pi y^2=\pi {\left(\frac{r}{h}x\right)}^2$

Para um deslocamento infinitesimal

$dx$

tem-se o incremento de volume:

$dV=\pi \frac{r^2}{h^2}{x}^{2}dx$

Então, integrando de

$0$

a

$h$

obtemos o volume do cone:

$\underset{0}{\overset{h}{\int }}dV=\pi \frac{r^2}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

$A_b=\pi r^2$

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal

$dx$

corresponde a um deslocamento de comprimento de linha

$dL$

sobre a reta

$y=\frac{r}{h}x$

. Pelo Teorema de Pitágoras temos que

$(dL{)}^2=(dy{)}^2+(dx{)}^2$

, ou seja:

$dL=\sqrt{{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+1}dx$

Considerando a rotação do segmento

$dL$

em torno do eixo

$x$

, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

$d{A}_l=2\pi ydL$

Substituindo

$y$

e

$dL$

em função de

$x$

e

$dx$

, obtemos:

$d{A}_l=2\pi \frac{r}{h}x\sqrt{\frac{r^2}{h^2}+1}dx$

Integrando de

$0$

a

$h$

, temos:

$\underset{0}{\overset{h}{\int }}d{A}_l=\underset{0}{\overset{h}{\int }}2\pi \frac{r}{h}x\sqrt{\frac{r^2}{h^2}+1}dx\Rightarrow A_l=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

$A=\pi r(g+r)$

onde,

$g=\sqrt{r^2+h^2}$

.

Para cones equiláteros

A área da base do cone é:

$A_b=\pi r^2$

Pelo Teorema de Pitágoras temos que $(2r{)}^2=h^2+r^2$, logo $h^2=4r^2-r^2=3r^2$, assim:

$h=r\sqrt{3}$

Como o volume do cone é obtido por $1/3$ do produto da área da base pela altura, temos:

$V=\frac{\pi r^3\sqrt{3}}{3}$

Similarmente, a área lateral é dada por:

$A_l=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot r\cdot 2r=2\cdot \pi \cdot r^2$

e, a área total por:

$A=3\pi r^2$

Ver também

• Cônica
• Quádrica
• Círculo
• Circunferência
• Elipse
• Parábola
• Hipérbole
• Reta
• Ciclóide
• Cardióide
• Leminiscata
• Espiral

Ligações externas

• Predefinição:En Volume de um cone truncado elíptica