Quádrica

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Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

$A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0$ onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente zero, representando assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução da equação geral das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.

Plano cartesiano

Como a dimensão do plano é 2, ou $ℝ^{2}$ , as quádricas no plano cartesiano têm dimensão um e são curvas planas. Também são chamados de seções cónicas ou cónicas.

Ficheiro:Eccentricity.svg

Círculo (e = 0), elipse (e = 0.5), parábola (e = 1) e hipérbole (e = 2) com um foco fixo F e uma diretriz.

Superfícies

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P = (x, y, z) \in S$ e C = $(x_{o}, y_{o}, z_{o})$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

$(x - x_{o})^{2} + (y - y_{o})^{2} + (z - z_{o})^{2} = r^{2}$

Se aproximarmos um plano $π$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

$π \cap S = {P t}$

$\overline{C P t} ⊥ π$

$d (C, π) = r$

Porém, se o plano $π$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d (C, π) < r$ .

Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Superfícies Quádricas

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho:
Superfície quádrica	Fórmulas	Desenho
Elipsoide	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$	Ficheiro:Ellipsoid Quadric.png
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$	Ficheiro:Oblate Spheroid Quadric.png
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1$	Ficheiro:Sphere Quadric.png
Paraboloide elíptico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$	Ficheiro:Paraboloid Quadric.Png
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - z = 0$
Paraboloide hiperbólico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$	Ficheiro:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png
Hiperboloide de uma folha	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$	Erro ao criar miniatura:
Hiperboloide de duas folhas	$- \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$	Ficheiro:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png
Cone	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$	Erro ao criar miniatura:
Cilindro elíptico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	Erro ao criar miniatura:
Cilindro circular (caso particular do* Cilindro elíptico)*	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$	Ficheiro:Circular Cylinder Quadric.png
Cilindro hiperbólico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
Cilindro parabólico	$x^{2} + 2 y = 0$

Predefinição:Referências

Referências

Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo. (2005). Geometria Analítica: um Tratamento Vetorial. Makron Books. 3ª edição. ISBN 8587918915.

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